Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Пусть $Q$ и $K$ — середины ребер $MA$ и $MB$. Плоскость $\alpha$ пересекает грань $BMC$ по отрезку $KL$ ($L\in BC$), который по условию параллелен $MC$. Отрезок $QK$ — средняя линия треугольника $AMB$, поэтому $QK\parallel AB$. Так как $AB\parallel CD$, получаем $QK\parallel CD$. Плоскость $\alpha$ содержит две прямые ($QK$ и $KL$), параллельные двум пересекающимся прямым плоскости $CMD$ ($CD$ и $MC$), значит $\alpha\parallel(CMD)$. Ребро $MD$ лежит в плоскости $CMD$, следовательно $MD\parallel\alpha$, что и требовалось.

б) Так как $\alpha\parallel(CMD)$, угол между $\alpha$ и прямой $AC$ равен углу между $AC$ и плоскостью $CMD$.

Пусть сторона квадрата равна $a$, $O$ — центр основания, тогда $OC=\dfrac{a\sqrt2}{2}$.

Противоположные грани $AMB$ и $CMD$ перпендикулярны. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через $M$ и середины $N,G$ сторон $AB,CD$ — это плоскость $MOH$. В этом сечении получается треугольник $MNG$ с прямым углом при $M$ (из‑за перпендикулярности граней) и гипотенузой $NG=a$. Значит это равнобедренный прямоугольный треугольник, и его катеты равны $MN=MG=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

$O$ — середина гипотенузы $NG$, а $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $O$ на плоскость $CMD$ (то есть на катет $MG$ в сечении). Расстояние от середины гипотенузы до катета равно половине другого катета: $$OH=\dfrac12 MN=\dfrac12\cdot\dfrac{a}{\sqrt2}=\dfrac{a\sqrt2}{4}.$$

Теперь искомый угол между $AC$ и плоскостью $CMD$ — это угол $\angle HCO$ в прямоугольном треугольнике $OHC$ (проекция $C$ на плоскость лежит на луче $CO$, а $H$ — проекция $O$): $$\sin\angle HCO=\dfrac{OH}{OC}=\dfrac{\frac{a\sqrt2}{4}}{\frac{a\sqrt2}{2}}=\dfrac12.$$

Следовательно, $\angle HCO=30^\circ$.