Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

Так как пирамида правильная, все боковые рёбра равны: $SA=SB=SC=5\sqrt6$.

Из условия $SK:BK=3:2$ и $CM:SM=3:2$ находим $SK=\frac35SB=3\sqrt6,\ BK=2\sqrt6,\ SM=\frac25SC=2\sqrt6,\ CM=3\sqrt6$.

а) Проведём через $M$ прямую $MN\parallel BC$ ($N\in SB$). Треугольники $SMN\sim SCB$ с коэффициентом $SM/SC=2/5$, поэтому $SN=2\sqrt6$, $MN=\frac25BC=4$. Тогда $NK=SK-SN=\sqrt6$.

Продолжим $KM$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $L$. Треугольники $KNM$ и $KBL$ подобны (стороны $MN\parallel BL$) с коэффициентом $NK:BK=1:2$, значит $BL=2MN=8$, $LC=BL+BC=18$.

В равнобедренном треугольнике $SBC$ ($SB=SC=5\sqrt6,\ BC=10$) $\cos\angle SCB=\dfrac{BC/2}{SC}=\dfrac{5}{5\sqrt6}=\dfrac1{\sqrt6}$. Но и $\dfrac{MC}{LC}=\dfrac{3\sqrt6}{18}=\dfrac1{\sqrt6}$, а угол $LCM$ совпадает с $\angle SCB$. Равенство косинуса отношению прилежащий/гипотенуза означает, что в треугольнике $LCM$ угол при $M$ прямой: $LM\perp SC$. Так как $K$ лежит на прямой $LM$, получаем $KM\perp SC$.

б) Точки $K,M,L$ лежат на одной прямой, поэтому угол между $KM$ и плоскостью основания равен углу между $LM$ и этой плоскостью (точка $L$ уже лежит в основании).

Найдём высоту пирамиды: $AC=10\sqrt2$, $AO=5\sqrt2$, $SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{150-50}=10$.

Проекция $M$ на плоскость основания лежит на $AC$ (на продолжении $OC$), а её высота пропорциональна доле, пройденной от $C$ к $S$: $MH=SO\cdot\dfrac{MC}{SC}=10\cdot\dfrac35=6$.

Из прямоугольного треугольника $LCM$ найдём $LM=\sqrt{LC^2-MC^2}=\sqrt{18^2-(3\sqrt6)^2}=\sqrt{270}=3\sqrt{30}$.

Тогда искомый угол $\angle MLH$ удовлетворяет $\sin\angle MLH=\dfrac{MH}{LM}=\dfrac{6}{3\sqrt{30}}=\dfrac{2}{\sqrt{30}}=\dfrac{\sqrt{30}}{15}$.

Ответ: $\angle MLH=\arcsin\dfrac{\sqrt{30}}{15}$.