Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Пусть сторона основания $a=AB=4\sqrt2$, а $CM=\dfrac{a}{2}=2\sqrt2$ (M — середина BC). Так как $CC_1$ — боковое ребро правильной призмы, оно перпендикулярно основанию, поэтому треугольники $CMC_1$ (прямой угол при $C$) и $CC_1B_1$ (прямой угол при $C_1$) — прямоугольные. Вычислим тангенсы: $\tan\angle CMC_1=\dfrac{CC_1}{CM}=\dfrac{4}{2\sqrt2}=\sqrt2$, $\tan\angle B_1CC_1=\dfrac{B_1C_1}{CC_1}=\dfrac{4\sqrt2}{4}=\sqrt2$. Значит, $\angle CMC_1=\angle B_1CC_1$. Пусть прямые $CB_1$ и $C_1M$ пересекаются в точке $K$. В треугольнике $CC_1K$ сумма углов при $C$ и $C_1$ равна $\angle B_1CC_1+\angle MC_1C=\angle CMC_1+\angle MC_1C=90^\circ$ (в треугольнике $CMC_1$). Тогда угол при $K$ равен $90^\circ$, то есть $B_1C\perp C_1M$.

б) Пусть $M_1$ — середина $B_1C_1$. Тогда $C_1M\parallel BM_1$ (в координатах: $M-C_1=-(M_1-B)$), поэтому искомый угол равен углу между $BM_1$ и плоскостью $ABB_1A_1$. Опустим из $M_1$ перпендикуляр $M_1H$ на $A_1B_1$; так как $M_1H\perp A_1B_1$ и $M_1H\perp BB_1$, то $M_1H\perp$ плоскости $ABB_1A_1$, значит $BH$ — проекция $BM_1$, а искомый угол — $\angle M_1BH$.

В равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$: $B_1M_1=\dfrac{a}{2}=2\sqrt2$, угол при $B_1$ равен $60^\circ$, значит $M_1H=B_1M_1\sin60^\circ=2\sqrt2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt6$.

$M_1B=\sqrt{BB_1^2+B_1M_1^2}=\sqrt{16+8}=2\sqrt6$.

$\sin\angle M_1BH=\dfrac{M_1H}{M_1B}=\dfrac{\sqrt6}{2\sqrt6}=\dfrac12\Rightarrow \angle M_1BH=30^\circ$.