Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

Пусть N — середина AB, L — середина AC. Так как AM:MC=1:3, то AM=AC/4, а AL=AC/2, значит AM=AL/2 — точка M делит AL пополам. Тогда в треугольнике ABL отрезок MN соединяет середины сторон AB и AL, поэтому по теореме о средней линии $MN\parallel BL$ и $MN=\frac12 BL$. Поскольку треугольник ABC равнобедренный (AB=BC), медиана BL является и высотой, то есть $BL\perp AC$, а значит и $MN\perp AC$.

Призма прямая, поэтому боковое ребро $AA_1\perp$ плоскости ABC. Отрезок KN соединяет середины сторон параллелограмма $ABB_1A_1$, значит $KN\parallel AA_1$ и $KN=AA_1$, а следовательно $KN\perp$ плоскости ABC, в частности $KN\perp AC$.

Таким образом AC перпендикулярен двум пересекающимся прямым MN и KN плоскости KMN, значит $AC\perp$ плоскости KMN, а тогда $AC\perp KM$ — пункт а) доказан.

б) Опустим MH — высоту треугольника AMB на AB, тогда $MH\perp AB$. Так как $KN\perp$ плоскости ABC, то $KN\perp MH$. Значит MH перпендикулярна двум прямым (AB и KN), задающим плоскость $ABB_1$, то есть $MH\perp ABB_1$. Отсюда H — проекция M на эту плоскость, а искомый угол — это угол HKM, причём $\sin\angle HKM=\dfrac{MH}{KM}$.

Треугольники AMH и ACE (CE — высота ABC на AB) подобны с коэффициентом $AM:AC=1:4$, значит $MH=\dfrac14 CE=\dfrac{BL\cdot AC}{4AB}=\dfrac{BL}{3}$.

Из прямоугольного треугольника ABL: $BL=\sqrt{AB^2-AL^2}=\sqrt{81-36}=3\sqrt5$, откуда $MH=\sqrt5$.

В прямоугольном треугольнике KNM: $KN=AA_1=3$, $MN=\dfrac12 BL=\dfrac{3\sqrt5}{2}$, поэтому $KM=\sqrt{KN^2+MN^2}=\sqrt{9+\frac{45}{4}}=\dfrac92$.

Тогда $\sin\angle HKM=\dfrac{\sqrt5}{9/2}=\dfrac{2\sqrt5}{9}$, и искомый угол равен $\arcsin\dfrac{2\sqrt5}{9}$.