Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

Пусть $H$ — середина ребра $AD$. Тогда $BH$ и $CH$ — медианы равносторонних треугольников $ABD$ и $ACD$, а $K$ и $M$ — их центроиды.

а) Центроид делит медиану от вершины в отношении $2:1$, значит от точки $H$: $HK=\frac13 HB$, $HM=\frac13 HC$. В треугольниках $HKM$ и $HBC$ угол при вершине $H$ общий, а стороны пропорциональны с коэффициентом $\frac13$ — треугольники подобны. Значит $KM\parallel BC$ и $KM=\frac13 BC=\frac{a}{3}$ (где $a$ — ребро тетраэдра).

б) В правильном тетраэдре отрезок, соединяющий вершину с центром противолежащей грани, — это высота тетраэдра, поэтому $CK\perp(ABD)$. Так как $CK$ лежит в плоскости $BCH$, эта плоскость перпендикулярна $(ABD)$, а их линия пересечения — прямая $BH$. Значит проекция точки $M$ (лежащей в плоскости $BCH$) на $(ABD)$ попадает на прямую $BH$, а точка $K$ уже лежит на этой прямой. Следовательно, проекцией $KM$ служит прямая $KH$, и искомый угол между $KM$ и плоскостью равен углу $\angle HKM$.

Медиана равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt3}{2}$, поэтому $KH=HM=\frac13\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6}$, а $KM=\frac{a}{3}$ (из пункта а).

По теореме косинусов в треугольнике $HKM$: $$HM^2=KH^2+KM^2-2\cdot KH\cdot KM\cdot\cos\angle HKM.$$ Подставляя значения: $$\frac{a^2}{12}=\frac{a^2}{12}+\frac{a^2}{9}-2\cdot\frac{a\sqrt3}{6}\cdot\frac{a}{3}\cos\angle HKM,$$ $$\frac{a^2\sqrt3}{9}\cos\angle HKM=\frac{a^2}{9}\;\Rightarrow\;\cos\angle HKM=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Таким образом искомый угол равен $\arccos\dfrac{\sqrt3}{3}$.