Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

Пусть ребро тетраэдра равно $a$.

1. У правильного тетраэдра вершина проектируется в центр противоположной грани, значит если $O$ — центр (точка пересечения медиан) грани $BCD$, то $AO\perp(BCD)$.

2. Пусть $N$ — середина $BC$. Тогда $DN$ — высота (и медиана) равностороннего треугольника $BCD$, $DN=\dfrac{a\sqrt3}{2}$. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении $2:1$ от вершины, поэтому $DO:ON=2:1$.

3. Возьмём $K$ — середину $DO$. Отрезок $MK$ соединяет середины сторон $AD$ и $DO$ треугольника $ADO$, значит $MK$ — средняя линия, откуда $MK\parallel AO$. Так как $AO\perp(BCD)$, то и $MK\perp(BCD)$ — значит $K$ и есть проекция точки $M$ на плоскость $BCD$.

4. Найдём положение $K$ на $DN$: $DK=\tfrac12 DO=\tfrac12\cdot\tfrac23 DN=\tfrac13 DN$, тогда $KN=DN-DK=\tfrac23DN$. Значит $DK:KN=1:2$ — это и требовалось доказать в пункте а).

5. Так как $MK\perp(BCD)$, проекцией отрезка $BM$ на плоскость служит отрезок $BK$, и искомый угол между $BM$ и плоскостью — это угол $\angle MBK$.

6. Вычислим стороны треугольника $MBK$. $BN=\dfrac a2$ (половина стороны $BC$), $KN=\dfrac23 DN=\dfrac{a\sqrt3}{3}$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BNK$: $$BK=\sqrt{BN^2+KN^2}=\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{3}}=\sqrt{\dfrac{7a^2}{12}}=\dfrac{a\sqrt7}{2\sqrt3}.$$

7. $BM$ — медиана равностороннего треугольника $ABD$ со стороной $a$: $BM=\dfrac{a\sqrt3}{2}$.

8. В прямоугольном треугольнике $MBK$ (прямой угол при $K$, так как $MK\perp$ плоскости) $$\cos\angle MBK=\dfrac{BK}{BM}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt7}{2\sqrt3}}{\dfrac{a\sqrt3}{2}}=\dfrac{\sqrt7}{3}.$$

Следовательно, искомый угол равен $\arccos\dfrac{\sqrt7}{3}$.