Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Плоскость $BOC$ пересекает верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$ по прямой, параллельной $BC$ (так как $O$ — центр грани, и сечение проходит через середины ребёр $A_1B_1$ и $C_1D_1$ — точки $K$ и $M$). Аналогично плоскость $AOB$ пересекает верхнюю грань по прямой через середины $L$ ($B_1C_1$) и $N$ ($A_1D_1$).

Пусть $AB=2x$, $BC=2y$. По условию стороны прямоугольников втрое меньше больших сторон, значит $BL=6x$, $BK=6y$. Так как $K,L$ — середины ребёр, $B_1K=x$, $B_1L=y$.

В прямоугольных треугольниках $BB_1K$ и $BB_1L$ (прямой угол при $B_1$) по теореме Пифагора: $$BB_1^2=BK^2-B_1K^2=36y^2-x^2,\qquad BB_1^2=BL^2-B_1L^2=36x^2-y^2.$$ Приравнивая, получаем $37y^2=37x^2\Rightarrow x=y$, то есть $AB=BC$ — $ABCD$ квадрат.

б) Теперь $AB=BC=2x$, $BB_1=\sqrt{36x^2-x^2}=x\sqrt{35}$.

Пусть $P$ — точка пересечения прямых $AA_1$ и $BK$. В прямоугольном треугольнике $A_1KP$ (прямой угол при $A_1$, так как $A_1K\perp A_1P$) опустим высоту $A_1H$ на гипотенузу $PK$. Так как проекция $A_1H$ на верхнюю грань — это направление $AB$, по теореме о трёх перпендикулярах $A_1H\perp KM$, а по построению $A_1H\perp PK$. Значит $A_1H\perp$ плоскости $BOC$, и искомый угол — это угол $A_1CH$.

Треугольники $A_1PK$ и $B_1BK$ равны (катет $A_1K=B_1K=x$ и равные острые углы при $K$), поэтому $A_1P=BB_1=x\sqrt{35}$. Тогда $PK=\sqrt{A_1P^2+A_1K^2}=\sqrt{35x^2+x^2}=6x$.

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна произведению катетов делённому на гипотенузу: $$A_1H=\dfrac{A_1P\cdot A_1K}{PK}=\dfrac{x\sqrt{35}\cdot x}{6x}=\dfrac{x\sqrt{35}}{6}.$$

Диагональ параллелепипеда: $$A_1C=\sqrt{AA_1^2+AD^2+DC^2}=\sqrt{35x^2+4x^2+4x^2}=x\sqrt{43}.$$

Искомый угол — угол между $A_1C$ и плоскостью, равный $\angle A_1CH$: $$\sin\angle A_1CH=\dfrac{A_1H}{A_1C}=\dfrac{x\sqrt{35}/6}{x\sqrt{43}}=\dfrac{\sqrt{35}}{6\sqrt{43}}=\dfrac{\sqrt{1505}}{258}.$$

Значит, искомый угол равен $\arcsin\dfrac{\sqrt{1505}}{258}$.