Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Рассмотрим три прямоугольных треугольника, в которых AC₁ — общая гипотенуза, а катеты — рёбра параллелепипеда, выходящие из вершины A: $AA_1$, $AB$, $AD$. Так как рёбра параллелепипеда попарно перпендикулярны, углы $AA_1C_1$, $ABC_1$, $ADC_1$ прямые, поэтому $$\cos\alpha=\frac{AA_1}{AC_1},\quad \cos\beta=\frac{AB}{AC_1},\quad \cos\gamma=\frac{AD}{AC_1}.$$ Для диагонали прямоугольного параллелепипеда верно $AC_1^2=AA_1^2+AB^2+AD^2$ (последовательное применение теоремы Пифагора). Разделив обе части на $AC_1^2$, получаем $$1=\left(\frac{AA_1}{AC_1}\right)^2+\left(\frac{AB}{AC_1}\right)^2+\left(\frac{AD}{AC_1}\right)^2=\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma.$$ Это и есть требуемое тождество.

б) Подставляем данные значения углов в доказанную формулу: $$\cos^2\alpha+\cos^2 60^\circ+\cos^2 45^\circ=1\Rightarrow \cos^2\alpha+\frac14+\frac12=1\Rightarrow \cos^2\alpha=\frac14.$$ Так как $0^\circ<\alpha<90^\circ$, берём положительное значение: $\cos\alpha=\frac12$, значит $\alpha=60^\circ$.

Ребро $AA_1$ перпендикулярно основанию, а значит и плоскости $A_1B_1C_1$ (она параллельна основанию). Поэтому проекция точки $A$ на эту плоскость — точка $A_1$, а проекцией диагонали $AC_1$ служит отрезок $A_1C_1$. Значит угол между $AC_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$ — это угол $AC_1A_1$ в прямоугольном треугольнике $AA_1C_1$ (прямой угол при $A_1$).

В этом треугольнике угол при вершине $A$ равен $\alpha=60^\circ$, поэтому оставшийся острый угол $$\angle AC_1A_1=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$ Это и есть искомый угол между прямой $AC_1$ и плоскостью $A_1B_1C_1$.