Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Пусть N — середина BC. Так как SB=SC, треугольник SBC равнобедренный, и медиана SN является также его высотой: $SN\perp BC$. Аналогично, так как AB=AC, треугольник ABC равнобедренный с той же серединой N, и $AN\perp BC$. Значит, BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым SN и AN плоскости ASN, а следовательно и всей этой плоскости, в частности прямой SA. Итак, $SA\perp BC$.

б) В плоскости ASN опустим высоту AM на сторону SN. Так как $BC\perp$ плоскости ASN, то $AM\perp BC$; кроме того $AM\perp SN$ по построению. Значит AM перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости SBC, то есть $AM\perp$ плоскости SBC. Тогда SM — проекция SA на эту плоскость, и искомый угол — это $\angle ASM$.

NC=BC/2=$\sqrt5$. Из прямоугольных треугольников: $SN=\sqrt{17-5}=\sqrt{12}$, $AN=\sqrt{29-5}=\sqrt{24}$.

Пусть $SM=x$, тогда $MN=\sqrt{12}-x$. Выразим $AM^2$ двумя способами: $$AS^2-SM^2=AN^2-MN^2\Rightarrow 20-x^2=24-(\sqrt{12}-x)^2.$$ Отсюда $4\sqrt3\,x=8$, значит $x=\dfrac{2}{\sqrt3}$.

$$\cos\angle ASM=\frac{SM}{SA}=\frac{2/\sqrt3}{2\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt{15}}.$$

Таким образом, $\angle ASM=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{15}}$.