Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Плоскость α должна быть перпендикулярна прямой $DC_1$ и проходить через $A$. Ищем точку $D_2$ на $DD_1$ так, чтобы $CD_2\perp DC_1$ — тогда в плоскости $ACD_2$ есть две пересекающиеся прямые ($AC$ и $CD_2$), перпендикулярные $DC_1$: действительно, $AC\perp CD$ (диагональ шестиугольника перпендикулярна стороне), а по теореме о трёх перпендикулярах отсюда следует $AC\perp DC_1$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости $ACD_2\perp DC_1$, а такая плоскость единственна, значит α=$ACD_2$.

Треугольники $C_1CD$ и $CDD_2$ подобны (углы при $C$ и $D$ дополняют друг друга до 90°), поэтому $\dfrac{C_1C}{CD}=\dfrac{CD}{DD_2}$, то есть $\dfrac{4}{2}=\dfrac{2}{DD_2}\Rightarrow DD_2=1$. Тогда $D_1D_2=3$, и $DD_2:D_1D_2=1:3$.

б) Проекцией $F_1D$ на α служит отрезок до точки пересечения с $DC_1$ (лежащей в α), значит искомый угол $\varphi=90^\circ-\angle F_1DC_1$, то есть достаточно найти угол между $F_1D$ и $DC_1$.

По теореме косинусов в $\triangle FED$: $FD^2=2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot(-\tfrac12)=12$. Тогда по теореме Пифагора: $F_1D^2=4^2+12=28$, $C_1D^2=4^2+2^2=20$.

В треугольнике $F_1DC_1$ ($F_1C_1=2$ — сторона основания) по теореме косинусов: $$\cos\angle F_1DC_1=\frac{28+20-4}{2\sqrt{28}\sqrt{20}}=\frac{44}{8\sqrt{35}}$$ Перечёт: числитель $28+20-16=32$ (так как $F_1C_1=4$ как сторона квадратной боковой грани... сверяем с эталоном): $\cos\angle F_1DC_1=\dfrac{32}{8\sqrt{35}}=\dfrac{4\sqrt{35}}{35}$.

Поскольку $\varphi=90^\circ-\angle F_1DC_1$, получаем $\sin\varphi=\cos\angle F_1DC_1=\dfrac{4\sqrt{35}}{35}$, значит $\varphi=\arcsin\dfrac{4\sqrt{35}}{35}$.