Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Доказательство. Пусть $H$ — центр квадрата $ABCD$ (основание высоты $PH$), а $N$ — середина отрезка $PH$. Тогда $MN$ — средняя линия треугольника $APH$, значит $MN\parallel AH$ и $MN=\frac12 AH$.

Так как пирамида правильная, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и точка $H$ — их пересечение, поэтому $AH\perp BD$. Кроме того $PH\perp$ основанию, значит $AH\perp PH$. Из двух перпендикулярностей $AH$ к прямым $BD$ и $PH$ следует $AH\perp$ плоскости $BDP$ (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Поскольку $MN\parallel AH$, то и $MN\perp$ плоскости $BDP$. Плоскость $BMN$ содержит прямую $MN$, перпендикулярную $BDP$, значит по признаку перпендикулярности плоскостей $BMN\perp BDP$. Через точки $B$ и $M$ можно провести только одну плоскость, перпендикулярную $BDP$ — это и есть плоскость $BMN$. Она пересекает высоту $PH$ в точке $N$, которая по построению — середина $PH$. Тем самым высота делится этой плоскостью пополам, что и требовалось доказать.

б) Нахождение угла. Так как $MN\perp$ плоскости $BDP$, точка $N$ — проекция точки $M$ на эту плоскость, поэтому $BN$ — проекция прямой $BM$ на плоскость $BDP$. Значит искомый угол между $BM$ и плоскостью равен острому углу $\angle MBN$ прямоугольного треугольника $MBN$ (прямой угол при $N$).

Пусть ребро пирамиды $a$. В равностороннем треугольнике $APB$ отрезок $BM$ — медиана, поэтому $$BM=\frac{\sqrt3}{2}a.$$ Диагональ квадрата равна $a\sqrt2$, значит $$AH=\frac{\sqrt2}{2}a,\qquad MN=\frac12 AH=\frac{\sqrt2}{4}a.$$

Тогда $$\sin\angle MBN=\frac{MN}{BM}=\frac{\frac{\sqrt2}{4}a}{\frac{\sqrt3}{2}a}=\frac{\sqrt2}{2\sqrt3}=\frac{\sqrt6}{6}.$$

Следовательно, $$\angle MBN=\arcsin\frac{\sqrt6}{6}.$$