Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Угол ромба при $A$ равен $60^\circ$, поэтому треугольники $ABD$ и $BCD$ равносторонние со стороной $8$. Значит диагональ $BD=8$, а диагональ $AC$ равна удвоенной высоте равностороннего треугольника: $AC=8\sqrt3$.

Проверим прямоугольность треугольника $SAC$: $AC^2+SC^2=(8\sqrt3)^2+(\sqrt{33})^2=192+33=225=15^2=SA^2$. По обратной теореме Пифагора угол при $C$ прямой, то есть $SC\perp AC$.

Пусть $O$ — центр ромба (точка пересечения диагоналей). Так как $SB=SD$, треугольник $SBD$ равнобедренный, а $SO$ — медиана, значит и высота: $SO\perp BD$. Диагонали ромба перпендикулярны: $AC\perp BD$. Прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $SO$ плоскости $SAC$, значит $BD\perp(SAC)$, а следовательно $BD\perp SC$.

Таким образом $SC$ перпендикулярна и $AC$, и $BD$ — двум пересекающимся прямым основания, значит $SC\perp(ABCD)$, то есть $SC$ — высота пирамиды.

б) Так как $BD\perp(SAC)$, проекция точки $B$ на плоскость $SAC$ — точка $O$. Значит проекцией прямой $SB$ на эту плоскость служит $SO$, и искомый угол между $SB$ и плоскостью равен $\angle BSO$, при этом $BO\perp SO$ (прямоугольный треугольник $SBO$).

Найдём стороны: $BO=\dfrac12BD=4$, $CO=\dfrac12AC=4\sqrt3$.

Поскольку $SC\perp(ABCD)$, то $SC\perp CO$, и по теореме Пифагора в треугольнике $SCO$: $SO=\sqrt{CO^2+SC^2}=\sqrt{48+33}=\sqrt{81}=9$.

Тогда в прямоугольном треугольнике $SBO$: $\operatorname{tg}\angle BSO=\dfrac{BO}{SO}=\dfrac{4}{9}$, откуда $\angle BSO=\operatorname{arctg}\dfrac{4}{9}$.