Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Угол между прямой и плоскостью

а) Грани $AA_1B_1B$ и $DD_1C_1C$ параллельны, поэтому любая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Значит, если плоскость $BA_1D_1$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $K$, то $A_1B\parallel D_1K$. Треугольники $A_1B_1B$ и $D_1C_1K$ подобны (стороны параллельны), коэффициент подобия равен $\dfrac{A_1B_1}{D_1C_1}=\dfrac{AB}{CD}=2$. Отсюда $C_1K=\dfrac12 BB_1$, то есть $CK=KC_1=\dfrac12 CC_1$ — $K$ середина ребра.

б) Пусть $CD=a$, тогда $AB=2a$, $BC=a$, $AA_1=\sqrt6\,a$. Прямая $D_1K$ пересекает $CD$ в точке $L$; так как основания призмы параллельны, след плоскости $BA_1D_1$ на нижнем основании — прямая $BL\parallel A_1D_1\parallel AD$. Тогда $ABLD$ — параллелограмм, значит $DL=AB=2a$, а $CL=DL-DC=a=BC=CD$.

Угол $BCD$ прямой (прямоугольная трапеция), поэтому треугольник $BCL$ — прямоугольный равнобедренный с катетами $a$, и высота из $C$ на $BL$ равна $CH=\dfrac{a}{\sqrt2}$.

Поскольку призма прямая, $CC_1\perp ABCD$, а $CK=\dfrac{AA_1}{2}=\dfrac{\sqrt6}{2}a$. По теореме о трёх перпендикулярах $KH\perp BL$, и $\angle KHC$ — линейный угол двугранного угла между плоскостью $BA_1D_1$ и основанием: $$\tan\angle KHC=\frac{CK}{CH}=\frac{\sqrt6 a/2}{a/\sqrt2}=\sqrt3\Rightarrow \angle KHC=60^\circ.$$

Так как $AA_1\perp ABCD$, угол между $AA_1$ и плоскостью $BA_1D_1$ дополняет этот двугранный угол до $90^\circ$: $$\angle(AA_1,\,BA_1D_1)=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$