Круглые тела в задании 14: конус, цилиндр, шар — метод сечений

О чём эта подтема

Задание 14 на круглые тела почти всегда строится по одной схеме: дано тело (конус, цилиндр или шар) с известными размерами, через него проводится сечение определённого вида, и нужно сделать две вещи. Пункт а) — доказать, что сечение имеет заявленную форму (равнобедренный треугольник, определённый вид четырёхугольника, конкретный угол и т.п.). Пункт б) — вычислить числовую характеристику: расстояние от точки до плоскости, угол, площадь сечения или объём части тела.

Основная трудность не в сложных формулах, а в том, что круглые тела не имеют «удобных» прямых граней, как призма или пирамида. Работать приходится с окружностями оснований, образующими и осевыми сечениями, поэтому весь успех зависит от умения быстро вычислить несколько ключевых линейных элементов и правильно построить вспомогательный прямоугольный треугольник, лежащий в специально выбранной плоскости.

Чаще всего в этой подтеме встречается именно конус: сечение через вершину и хорду основания. Реже — цилиндр (сечение параллельно оси или наклонное) и шар (сечения плоскостями, касательные плоскости). Ниже разберём именно тип «конус + хорда», поскольку он самый частый и на нём видна вся логика метода, применимая и к другим круглым телам.

Что нужно знать

Конус. Основные величины: радиус основания $R$, высота $h$, образующая $l$. Они связаны прямоугольным треугольником — осевым сечением, разрезанным пополам: $$l^2 = R^2 + h^2.$$ Любая точка на окружности основания удалена от вершины конуса на расстояние, равное образующей $l$ — это ключевой факт: отрезок от вершины конуса до любой точки окружности основания всегда равен $l$, независимо от того, где именно на окружности лежит эта точка.

Хорда основания. Если хорда $AB$ имеет длину $a$, а центр основания — точка $O$, то перпендикуляр из $O$ к хорде (апофема окружности) равен $$OM = \sqrt{R^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2},$$ где $M$ — середина хорды. Это следствие теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника $OMA$, где $OA = R$, $AM = a/2$.

Сечение конуса через вершину и хорду. Если плоскость проходит через вершину $S$ и хорду $AB$, сечением является треугольник $SAB$, где:

• $SA = SB = l$ (обе стороны — образующие конуса, отсюда равнобедренность);
• $AB = a$ — хорда (основание треугольника);
• медиана $SM$, проведённая к основанию $AB$ (так как треугольник равнобедренный, медиана совпадает с высотой), вычисляется как $$SM = \sqrt{h^2 + OM^2},$$ поскольку $SM$ — гипотенуза прямоугольного треугольника $SOM$ с катетами $SO = h$ и $OM$.

Остроугольность треугольника. Чтобы доказать, что все углы острые, достаточно проверить угол при вершине $S$ (самый «подозрительный», так как боковые стороны длинные) через теорему косинусов: $$\cos(\angle ASB) = \frac{2l^2 - a^2}{2l^2}.$$ Если эта величина положительна, угол острый. Углы при основании автоматически острые, если высота $SM$ падает внутрь основания (что верно всегда, когда сечение содержит хорду, а не диаметр с какими-то вырожденными случаями) — но для строгости их также стоит проверить через теорему косинусов или через то, что в равнобедренном треугольнике угол при основании острый, если высота меньше половины основания... на практике для конкретных чисел удобнее явно посчитать один угол.

Расстояние от центра основания до плоскости сечения. Это главная техническая часть. Идея: раз $OM \perp AB$ и $SM \perp AB$ (оба — из свойств равнобедренных треугольников: $OM$ — медиана-высота в $\triangle OAB$, $SM$ — медиана-высота в $\triangle SAB$), то прямая $AB$ перпендикулярна плоскости, содержащей точки $S$, $O$, $M$. Значит вся плоскость сечения $SAB$ пересекается с плоскостью $SOM$ по прямой $SM$, и расстояние от $O$ до плоскости $SAB$ равно расстоянию от точки $O$ до прямой $SM$, измеренному в плоскости $SOM$.

В треугольнике $SOM$ угол при $O$ прямой (так как $SO$ — высота конуса, перпендикулярная плоскости основания, а значит и прямой $OM$, лежащей в этой плоскости). Значит $SOM$ — прямоугольный треугольник с катетами $SO = h$, $OM$ и гипотенузой $SM$. Расстояние от вершины прямого угла $O$ до гипотенузы (это и есть искомое расстояние $\rho$) находится по формуле высоты прямоугольного треугольника: $$\rho = \frac{SO \cdot OM}{SM}.$$

Цилиндр и шар — короткая справка. Для цилиндра ключевые величины — радиус $R$ и высота $h$, диагональ осевого сечения $d=\sqrt{4R^2+h^2}$; сечения параллельно оси дают прямоугольники, наклонные сечения — эллипсы (в задании 14 эллипсы почти не встречаются, чаще работают с прямоугольными сечениями и расстояниями до образующих). Для шара — любое плоское сечение есть круг, и расстояние от центра шара $O$ до плоскости сечения $\delta$ связано с радиусом сечения $r$ формулой $r^2 = R^2 - \delta^2$. Логика поиска расстояний та же: строим вспомогательный прямоугольный треугольник, где гипотенуза или катет — известная величина, а искомое расстояние — второй катет или высота.

Как решать: метод и алгоритм

1. Выпишите известные величины тела (радиус, высота) и сразу посчитайте образующую конуса по $l=\sqrt{R^2+h^2}$, если тело — конус.
2. Определите элементы сечения. Если сечение — треугольник через вершину и хорду, найдите половину хорды $a/2$, апофему $OM=\sqrt{R^2-(a/2)^2}$ и медиану-высоту сечения $SM=\sqrt{h^2+OM^2}$.
3. Докажите форму сечения. Равнобедренность следует из равенства боковых сторон образующей $l$. Остроугольность проверяется теоремой косинусов для угла при вершине конуса; при необходимости проверяется и угол при основании.
4. Постройте вспомогательный прямоугольный треугольник для нахождения расстояния или угла — как правило, это треугольник $SOM$ с прямым углом при $O$, катетами $h$ и $OM$, гипотенузой $SM$.
5. Найдите искомую величину — расстояние от центра до плоскости сечения как высоту прямоугольного треугольника $\rho = \dfrac{SO\cdot OM}{SM}$, либо угол — через тригонометрические соотношения в том же треугольнике.
6. Проверьте числа — большинство задач построено на «красивых» прямоугольных треугольниках (3-4-5, 5-12-13, 8-6-10 и их производных), поэтому если промежуточный результат не упрощается, стоит перепроверить вычисления.

Разбор примера

Пример 1. Радиус основания конуса $R=6$, высота $h=8$. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания длиной $4$. а) Докажите, что сечение — равнобедренный остроугольный треугольник. б) Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения.

Шаг 1. Образующая. $l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.

Шаг 2. Элементы сечения. Хорда $AB=4$, значит половина хорды $a/2=2$. Апофема $OM=\sqrt{R^2-(a/2)^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$.

Шаг 3. Доказательство а). Стороны треугольника сечения $SAB$: $SA=SB=l=10$ (образующие), $AB=4$ — значит треугольник равнобедренный. Проверим угол при вершине $S$ по теореме косинусов: $$\cos(\angle ASB)=\frac{2l^2-AB^2}{2l^2}=\frac{2\cdot100-16}{200}=\frac{184}{200}=0{,}92>0,$$ угол острый. Углы при основании также острые: медиана $SM$ (одновременно высота) значительно превышает половину основания, что легко проверить численно на следующем шаге ($SM$ окажется много больше $a/2$), поэтому оба угла при основании тупыми быть не могут. Значит сечение — равнобедренный остроугольный треугольник, что и требовалось доказать.

Шаг 4. Медиана-высота сечения. $SM=\sqrt{h^2+OM^2}=\sqrt{64+32}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}$.

Шаг 5. Вспомогательный треугольник $SOM$. Он прямоугольный с прямым углом при $O$ (так как $SO\perp$ плоскости основания), катеты $SO=8$ и $OM=4\sqrt{2}$, гипотенуза $SM=4\sqrt{6}$.

Шаг 6. Расстояние от $O$ до плоскости сечения равно высоте этого треугольника, проведённой из $O$ на гипотенузу $SM$: $$\rho=\frac{SO\cdot OM}{SM}=\frac{8\cdot4\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{32\sqrt{2}}{4\sqrt{6}}=\frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}.$$

Ответ: $\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$ — совпадает с эталонным.

Пример 2. Радиус основания конуса $R=5$, высота $h=12$. Плоскость сечения содержит вершину конуса и хорду основания длиной $6$. Аналогичные пункты а) и б).

Шаг 1. Образующая. $l=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$.

Шаг 2. Элементы сечения. $a/2=3$, $OM=\sqrt{R^2-9}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$.

Шаг 3. Доказательство. $SA=SB=13$ — равнобедренность. Угол при вершине: $$\cos(\angle ASB)=\frac{2\cdot169-36}{2\cdot169}=\frac{302}{338}\approx0{,}894>0,$$ угол острый, значит и весь треугольник остроугольный (аналогично предыдущему примеру медиана окажется заметно длиннее половины основания).

Шаг 4. Медиана-высота. $SM=\sqrt{h^2+OM^2}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}$.

Шаг 5–6. Расстояние. Прямоугольный треугольник $SOM$: катеты $12$ и $4$, гипотенуза $4\sqrt{10}$. $$\rho=\frac{12\cdot4}{4\sqrt{10}}=\frac{48}{4\sqrt{10}}=\frac{12}{\sqrt{10}}=\frac{12\sqrt{10}}{10}=\frac{6\sqrt{10}}{5}.$$

Ответ: $\dfrac{6\sqrt{10}}{5}$ — совпадает с эталонным.

Оба примера показывают, что вся задача сводится к последовательному вычислению трёх чисел: образующей, апофемы окружности и медианы-высоты сечения, а финальный ответ — это высота одного прямоугольного треугольника.

Типичные ошибки

• Путают апофему окружности и медиану сечения. $OM$ — это расстояние от центра основания до хорды, а $SM$ — расстояние от вершины конуса до хорды (внутри плоскости сечения). Это два разных отрезка, оба нужны, но для разных целей.
• Забывают доказать перпендикулярность $AB$ плоскости $SOM$. Без этого шага утверждение «расстояние от $O$ до плоскости сечения равно расстоянию от $O$ до прямой $SM$» остаётся не обосновано, и на экзамене за это могут снять баллы даже при верном числовом ответе.
• Считают половину хорды неверно. Ошибка в вычислении $a/2$ и в применении теоремы Пифагора для $OM$ — самая частая арифметическая ошибка в этой подтеме.
• Не проверяют остроугольность численно, ограничиваясь фразой «треугольник равнобедренный, значит остроугольный» — это неверное общее утверждение, равнобедренный треугольник может быть и тупоугольным. Нужен явный расчёт угла при вершине через теорему косинусов.
• Путают образующую конуса и апофему боковой поверхности при развёртке. Образующая — отрезок от вершины до точки на окружности основания, она одна и та же для всех точек окружности; путать её с высотой сечения $SM$ — частая небрежность.
• Неверно определяют, где прямой угол во вспомогательном треугольнике. Прямой угол всегда при центре основания $O$, потому что высота конуса $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит и любой прямой в этой плоскости, включая $OM$.

На что обратить внимание на экзамене

При оформлении решения важно явно писать обоснование каждого шага, а не только финальные числа: указать, что $SA=SB=l$ как образующие; что $OM\perp AB$ и $SM\perp AB$, потому что оба треугольника ($OAB$ и $SAB$) равнобедренные; что $AB\perp$ плоскости $SOM$, и поэтому расстояние от точки $O$ до плоскости сечения равно высоте прямоугольного треугольника $SOM$, опущенной на гипотенузу.

Полезно заранее знать несколько «стандартных» прямоугольных треугольников, которые часто дают радиус, высоту и образующую конуса: $3$-$4$-$5$, $6$-$8$-$10$, $5$-$12$-$13$, $9$-$12$-$15$, $8$-$15$-$17$. Если после вычисления $R$, $h$, $l$ получается один из этих наборов (или его кратное), это хороший знак, что вычисления идут верно.

При доказательстве остроугольности не ограничивайтесь общими фразами — приведите числовой расчёт косинуса угла хотя бы для одного угла (самого «рискованного», обычно это угол при вершине конуса, так как боковые стороны длинные, а основание короткое). Если требуется, дополнительно проверьте угол при основании: он острый, если проекция вершины $S$ (то есть точка $O$ через высоту $h$) находится «глубоко» над плоскостью, что обычно выполняется при $h$, сравнимом или большем $R$.

Наконец, стоит держать в голове альтернативный способ проверки ответа — метод координат. Поместив центр основания в начало координат, ось $Oz$ вдоль высоты конуса, легко задать координаты вершины, концов хорды и вычислить расстояние от точки до плоскости через уравнение плоскости и формулу расстояния. Это не основной метод для данной подтемы (он медленнее геометрического), но удобен для самопроверки, если осталось время после решения задачи через сечения.