Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Так как $AB=AC=5$, треугольник $ABC$ равнобедренный, значит высота $AM\perp BC$ опускается в середину $BC$. Аналогично $BD=DC=5$, поэтому $DM\perp BC$. Значит плоскость $AMD$ перпендикулярна $BC$, и угол $\angle AMD=\varphi$ — линейный угол двугранного угла при $BC$.

Аналогично, из равнобедренных треугольников $ABD$ ($AB=BD$) и $ACD$ ($AC=DC$) следует, что $BN\perp AD$ и $CN\perp AD$, где $N$ — середина $AD$, а $\angle BNC=\varphi$ — угол при ребре $AD$.

Треугольники $ABC$ и $DBC$ равны по трём сторонам ($AB=DC,\;AC=BD,\;BC$ — общая), поэтому $MA=MD$, и из равнобедренного $\triangle AMD$ получаем $\angle MAD=\dfrac{180^\circ-\varphi}{2}=\alpha$. Точно так же из равенства $\triangle ABD=\triangle ACD$ следует $\angle NBC=\alpha$.

Треугольники $ANM$ и $BMN$ имеют общий катет $MN$ и равные острые углы $\alpha$, значит они равны, откуда $AN=BM$. Но $AN=\tfrac12 AD$, $BM=\tfrac12 BC$, следовательно $AD=BC$.

б) При $\varphi=60^\circ$ треугольник $AMD$ равнобедренный с углом $60^\circ$ при вершине $M$, значит он равносторонний: $AM=MD=AD=a$, и, как доказано, $BC=a$. Тогда $BM=\dfrac{a}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $ABM$ (угол при $M$ прямой, так как $AM\perp BC$): $$AB^2=AM^2+BM^2\Rightarrow 25=a^2+\frac{a^2}{4}=\frac{5a^2}{4}\Rightarrow a^2=20\Rightarrow a=2\sqrt5.$$

Площадь основания: $S_{ABC}=\dfrac12\cdot BC\cdot AM=\dfrac12\cdot a\cdot a=\dfrac{a^2}{2}=10.$

Угол $\alpha=\dfrac{180^\circ-\varphi}{2}=60^\circ$. Высота пирамиды из $D$ на плоскость $ABC$ находится через прямоугольный треугольник с гипотенузой $AD$ и углом $\alpha$ при $A$: $$DO=AD\sin\alpha=2\sqrt5\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt{15}.$$

Объём пирамиды: $$V=\frac13 S_{ABC}\cdot DO=\frac13\cdot10\cdot\sqrt{15}=\frac{10\sqrt{15}}{3}.$$