Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Точка $C$ — основание высоты пирамиды, значит $PC\perp$ плоскости $ABC$, а следовательно $PC\perp BC$. По условию $PA\perp BC$. Итак, прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $PA$ и $PC$, лежащим в плоскости $APC$, значит $BC\perp$ плоскости $APC$. Тогда $BC$ перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в частности $BC\perp AC$. Значит, угол $ACB=90^\circ$, то есть треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.

б) Найдём $PA$ из треугольника $PBA$ по теореме косинусов: $$PA^2=PB^2+BA^2-2\cdot PB\cdot BA\cdot\cos\angle PBA=15^2+13^2-2\cdot15\cdot13\cdot\frac{48}{65}=225+169-288=106.$$

Так как $PC\perp$ плоскости $ABC$, треугольники $PCA$ и $PCB$ прямоугольные с прямым углом при $C$, поэтому по теореме Пифагора: $$AC^2+PC^2=PA^2=106,\qquad BC^2+PC^2=PB^2=225.$$ Также из пункта а) в прямоугольном треугольнике $ABC$: $$AC^2+BC^2=AB^2=169.$$

Сложим первые два равенства: $AC^2+BC^2+2PC^2=331$. Вычтем третье: $2PC^2=331-169=162$, отсюда $PC^2=81$, $PC=9$.

Тогда $BC^2=225-81=144\Rightarrow BC=12$, а $AC^2=106-81=25\Rightarrow AC=5$.

Объём пирамиды с высотой $PC$ и основанием — прямоугольным треугольником $ABC$: $$V=\frac13\cdot PC\cdot\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac13\cdot9\cdot\frac{5\cdot12}{2}=\frac13\cdot9\cdot30=90.$$