Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Так как призма прямая, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, значит $AC$ — проекция наклонной $A_1C$ на эту плоскость. В ромбе диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому $AC\perp BD$. По теореме о трёх перпендикулярах, если проекция наклонной перпендикулярна прямой в плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой. Значит, $A_1C\perp BD$.

б) Пусть $AB=AA_1=a$, $O$ — точка пересечения диагоналей ромба (они делятся пополам и перпендикулярны).

В прямоугольном треугольнике $A_1AC$ (угол при $A$ прямой, т.к. $AA_1\perp$ плоскости): $A_1C^2=AA_1^2+AC^2 \Rightarrow 4=a^2+AC^2 \Rightarrow AC=\sqrt{4-a^2}$.

В прямоугольном треугольнике $DOC$: $CD^2=OC^2+OD^2$. Так как $CD=AB=a$, $OD=BD/2=1$, $OC=AC/2$, получаем $a^2=1+\dfrac{AC^2}{4}\Rightarrow AC=2\sqrt{a^2-1}$.

Приравняем два выражения для $AC$: $\sqrt{4-a^2}=2\sqrt{a^2-1}$. Возводим в квадрат: $4-a^2=4(a^2-1)\Rightarrow 8=5a^2\Rightarrow a^2=\dfrac{8}{5}$, значит $a=\sqrt{\dfrac{8}{5}}$.

Тогда $AC=2\sqrt{\dfrac{8}{5}-1}=2\sqrt{\dfrac{3}{5}}$.

Площадь ромба через диагонали: $S_{ABCD}=\dfrac12\cdot AC\cdot BD=\dfrac12\cdot 2\sqrt{\dfrac35}\cdot 2=2\sqrt{\dfrac35}$.

Объём призмы: $V=AA_1\cdot S_{ABCD}=\sqrt{\dfrac85}\cdot 2\sqrt{\dfrac35}=2\sqrt{\dfrac{24}{25}}=\dfrac{4\sqrt6}{5}$.