Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Плоскости $PAB$ и $PCD$ пересекаются по прямой $PK$ (так как $P$ общая точка, а $K=AB\cap CD$ лежит в обеих плоскостях). В основании прямая $AK$ лежит в плоскости $PAB$, а прямая $DK$ — в плоскости $PCD$. По условию $\angle BAD+\angle ADC=90^\circ$, значит $$\angle AKD=180^\circ-(\angle BAD+\angle ADC)=90^\circ.$$ Так как $PAB\perp ABC$ и $PCD\perp ABC$, а $DK$ лежит в плоскости $ABC$ и перпендикулярна $AK$ (по построению угла), то $DK\perp$ плоскости $PAB$, а значит $DK\perp PK$. Аналогично $AK\perp$ плоскости $PCD$, значит $AK\perp PK$. Тогда угол $AKD$ — линейный угол двугранного угла между плоскостями $PAB$ и $PCD$, и так как он равен $90^\circ$, плоскости перпендикулярны.

б) Из доказанного следует, что $AK\perp PCD$ и $DK\perp PAB$, а значит $PK\perp AK$ и $PK\perp DK$, то есть $PK\perp$ плоскости основания. Значит, $PK$ — высота обеих пирамид $PABCD$ и $PKBC$, и $PK=7$.

Трапеция $ABCD$ имеет $BC\parallel AD$, поэтому треугольники $KBC$ и $KAD$ подобны с некоторым коэффициентом $k$ ($k=\dfrac{AD}{BC}$). Пусть $BK=x$, $CK=y$. Тогда $AK=x+AB=x+3=kx$, $DK=y+CD=y+4=ky$, откуда $$x=\dfrac{3}{k-1},\qquad y=\dfrac{4}{k-1}.$$ Поскольку $\angle BKC=\angle AKD=90^\circ$, треугольник $KBC$ прямоугольный с гипотенузой $BC=5$, значит $$x^2+y^2=25.$$ Подставляя выражения для $x,y$: $$\dfrac{9}{(k-1)^2}+\dfrac{16}{(k-1)^2}=25\ \Rightarrow\ (k-1)^2=1\ \Rightarrow\ k=2.$$ Тогда $x=3$, $y=4$.

Площадь треугольника $KBC$ (прямоугольного с катетами 3 и 4): $$S_{KBC}=\dfrac12\cdot3\cdot4=6.$$

Объём пирамиды $PKBC$ с высотой $PK=7$: $$V_{PKBC}=\dfrac13\cdot PK\cdot S_{KBC}=\dfrac13\cdot7\cdot6=14.$$