Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Пусть O — центр основания, SO — высота пирамиды. В правильном шестиугольнике OC=OD=BC=4, поэтому SO²=SC²−OC²=49−16=33, SO=√33.

Пусть P — точка пересечения диагонали FC с отрезком DM. Так как OD ∥ MC (обе — стороны, параллельные диагонали шестиугольника), треугольники ODP и MCP подобны, откуда $\dfrac{OP}{PC}=\dfrac{OD}{MC}=\dfrac{4}{3}$ (MC=BC−BM=3).

По условию SK=4, KC=SC−SK=3, значит $\dfrac{SK}{KC}=\dfrac{4}{3}=\dfrac{OP}{PC}$. Треугольники OSC и PKC имеют общий угол C и пропорциональные стороны, поэтому они подобны, и PK ∥ OS. Так как OS — высота пирамиды (перпендикулярна плоскости основания), то и PK перпендикулярна этой плоскости. Точка P лежит на DM, K — вершина плоскости MKD, значит прямая PK целиком лежит в плоскости MKD. Плоскость, содержащая перпендикуляр к другой плоскости, перпендикулярна ей — значит MKD ⟂ ABCDEF. Это доказывает пункт а).

Для объёма найдём PK: из подобия $PK=SO\cdot\dfrac{PC}{OC}=\sqrt{33}\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{3\sqrt{33}}{7}$ (PC/OC=3/7, так как OP:PC=4:3, OC=OP+PC=7 частей).

Площадь треугольника MCD: угол BCD=120° (внутренний угол правильного шестиугольника), MC=3, CD=4: $$S_{MCD}=\frac12\cdot MC\cdot CD\cdot\sin120^\circ=\frac12\cdot3\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3.$$

Так как PK — расстояние от K до плоскости основания, а треугольник MCD лежит в этой плоскости, PK служит высотой пирамиды CDKM относительно основания MCD: $$V_{CDKM}=\frac13\cdot PK\cdot S_{MCD}=\frac13\cdot\frac{3\sqrt{33}}{7}\cdot3\sqrt3=\frac{9\sqrt{99}}{21}=\frac{9\sqrt{11}}{7}.$$