ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Объёмы многогранников

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Объем телаПравильная шестиугольная пирамида

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF боковое ребро SA  =  14, а сторона AB  =  8. Точка М середина стороны AB Плоскость α проходит через точки M и D и перпендикулярна плоскости ABC. Прямая SC пересекает плоскость α в точке K.

a) Докажите, что MK  =  KD.

б) Найдите объем пирамиды MCDK.

В подтеме 60 задач

Разбор

Главная идея: Найти точку H пересечения диагонали CO с отрезком MD как основание перпендикуляра KH к плоскости основания (пересечение двух плоскостей, перпендикулярных основанию), после чего вычислить нужные длины через подобие треугольников и среднюю линию, а объём тетраэдра найти как (1/3)·высота·площадь основания, используя, что MCD лежит в плоскости основания.

Пусть $O$ — центр основания, $N$ — середина $ED$ , $H$ — точка пересечения прямых $CO$ и $MD$ . Плоскость $\alpha=(MKD)$ перпендикулярна основанию по условию, а плоскость $(SOC)$ перпендикулярна основанию, так как содержит высоту $SO$ пирамиды. Линией пересечения этих плоскостей служит $KH$ , поэтому $KH\perp$ основание, а значит и $KH\perp MD$ .
Так как $O$ — середина $MN$ (диагональ шестиугольника, соединяющая середины противоположных сторон, проходит через центр), а $OC\parallel ED$ , отрезок $OH$ — средняя линия треугольника $MND$ , значит $H$ — середина $MD$ . Тогда $KH$ — одновременно медиана и высота треугольника $MKD$ , поэтому он равнобедренный: $MK=KD$ .
Вычисляем длины. $ND=\dfrac12 ED=4$ , тогда $OH=\dfrac12 ND=2$ . Для правильного шестиугольника $CO=AB=8$ , поэтому $CH=CO-OH=6$ .
Так как $KH\parallel SO$ (оба перпендикулярны основанию), треугольники $CKH$ и $CSO$ подобны: $\dfrac{CK}{CS}=\dfrac{CH}{CO}=\dfrac34$ , отсюда $CK=\dfrac34\cdot14=\dfrac{21}{2}$ .
В прямоугольном треугольнике $CHK$ (прямой угол при $H$ ): $KH=\sqrt{CK^2-CH^2}=\sqrt{\left(\dfrac{21}{2}\right)^2-36}=\dfrac{3\sqrt{33}}{2}$ .
Для площади $MCD$ : апофема $MO=\dfrac{AB\sqrt3}{2}=4\sqrt3$ , и она перпендикулярна $OC$ (можно проверить координатами), поэтому $S_{MCH}=\dfrac12\cdot CH\cdot MO=12\sqrt3$ . Так как $H$ — середина $MD$ , $S_{MCD}=2S_{MCH}=24\sqrt3$ .
Точки $M,C,D$ лежат в плоскости основания, а $KH\perp$ этой плоскости, поэтому $KH$ — высота тетраэдра $MCDK$ относительно основания $MCD$ : $V=\dfrac13\cdot KH\cdot S_{MCD}=\dfrac13\cdot\dfrac{3\sqrt{33}}{2}\cdot24\sqrt3=36\sqrt{11}.$

Типичные ошибки

Не замечают, что M, C, D лежат в плоскости основания, и пытаются искать высоту иначе, а не как KH
Ошибаются в вычислении CH или CO, забывая, что CO равен стороне шестиугольника
Неверно определяют, что MO перпендикулярно OC, и считают площадь треугольника MCH через другую, неверную формулу

Непонятно?

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Типичные ошибки

Похожие задачи