Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Плоскость сечения параллельна плоскости ABC и пересекает грань SAB по прямой, проходящей через K — середину SA. По свойству пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью линии пересечения параллельны, поэтому прямая $KQ\parallel AB$, а значит $Q$ — середина $SB$ (так как $K$ — середина $SA$, прямая, параллельная стороне треугольника и проходящая через середину одной боковой стороны, делит вторую пополам). Аналогично $P$ — середина $SC$. Тогда $PQ$ — средняя линия треугольника $SBC$, и треугольники $SPQ$ и $SBC$ подобны с коэффициентом $k=\dfrac12$. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента: $S_{SPQ}=\dfrac14 S_{SBC}$. Значит, $S_{BCPQ}=S_{SBC}-S_{SPQ}=\dfrac34 S_{SBC}$, что и требовалось доказать.

б) Площадь основания: $S_{ABC}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot16^2=64\sqrt3$. Объём всей пирамиды: $V_{SABC}=\dfrac13 S_{ABC}\cdot SH=\dfrac13\cdot64\sqrt3\cdot10=\dfrac{640\sqrt3}{3}$.

Пирамида $SKPQ$ подобна $SABC$ с коэффициентом $k=\dfrac12$ (так как $K,P,Q$ — середины боковых рёбер), поэтому её объём в $k^3=\dfrac18$ раз меньше: $V_{SKPQ}=\dfrac18V_{SABC}$.

Пирамида $KABC$ имеет то же основание $ABC$, а её высота (расстояние от $K$ до плоскости $ABC$) равна половине высоты $SH$, так как $K$ — середина $SA$. Значит $V_{KABC}=\dfrac12 V_{SABC}$.

Искомая пирамида $KBCPQ$ получается из $SABC$ вычитанием $SKPQ$ и $KABC$: $$V_{KBCPQ}=V_{SABC}-V_{SKPQ}-V_{KABC}=V_{SABC}\left(1-\dfrac18-\dfrac12\right)=\dfrac38V_{SABC}.$$ Подставляя: $V_{KBCPQ}=\dfrac38\cdot\dfrac{640\sqrt3}{3}=80\sqrt3$.