Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Плоскость сечения $KQP$ параллельна плоскости основания $ABC$. Возьмём плоскость грани $ASB$: она пересекает две параллельные плоскости ($KQP$ и $ABC$) по параллельным прямым — это свойство параллельных плоскостей. Значит $KQ\parallel AB$. Аналогично из грани $ASC$ получаем $KP\parallel AC$.

Так как $K$ — середина $AS$, а $KQ\parallel AB$ в треугольнике $ASB$, по теореме о средней линии $Q$ — середина $SB$. Аналогично $P$ — середина $SC$.

Тогда треугольник $SQP$ подобен треугольнику $SBC$ с коэффициентом $1/2$ (стороны вдвое меньше), поэтому $S_{SQP}=\frac14 S_{SBC}$. Оставшаяся часть — четырёхугольник $BQPC$ — имеет площадь $S_{BQPC}=S_{SBC}-S_{SQP}=\frac34 S_{SBC}$, то есть $S_{BQPC}:S_{SBC}=3:4$.

б) Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной $AB=16$, значит площадь основания $S=\frac{16^2\sqrt3}{4}=64\sqrt3$.

Объём всей пирамиды: $V_{SABC}=\frac13\cdot SH\cdot S=\frac13\cdot10\cdot64\sqrt3=\frac{640\sqrt3}{3}$.

Рассмотрим пирамиду $KBQPC$ с вершиной $K$ и основанием $BQPC$, и пирамиду $ABQC=ABSC=ABCS$ (то есть исходную) с вершиной $A$ и тем же основанием $BSC$ (продолжённым до $BQPC$ по площади). Так как $K$ — середина $AS$, расстояние от $K$ до плоскости $BQPC$ (совпадающей с плоскостью $BSC$) равно половине расстояния от $A$ до этой плоскости.

Значит, отношение объёмов пирамид с вершинами $K$ и $A$ и основаниями $BQPC$ и $BSC$ равно произведению отношения площадей оснований и отношения высот: $$\frac{V_{KBQPC}}{V_{ABSC}}=\frac{S_{BQPC}}{S_{BSC}}\cdot\frac12=\frac34\cdot\frac12=\frac38.$$

Отсюда $V_{KBQPC}=\frac38\cdot\frac{640\sqrt3}{3}=80\sqrt3$.