Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Плоскость $\alpha\parallel(SBC)$, значит, её след на плоскости основания параллелен $BC$. Проведём $MN\parallel BC$ ($M$ — середина $AB$, $ABCD$ — квадрат) — тогда $N$ — середина $DC$. Аналогично, след плоскости $\alpha$ на грани $SDC$ параллелен $SC$, то есть $NK\parallel SC$. Значит, в треугольнике $SDC$ отрезок $NK$ — средняя линия (проходит через середину $DC$ параллельно $SC$), поэтому $K$ — середина $SD$.

б) Высота пирамиды $SO$ падает в центр квадрата. Пусть $H$ — проекция $K$ на основание. Так как $K$ — середина $SD$, а $SO\perp$ основанию, то $KH\parallel SO$ и $KH$ — средняя линия треугольника $SDO$: $H$ — середина $DO$, $KH=\tfrac12 SO$.

Чтобы найти $HM$, проведём через $H$ прямую, параллельную $AD$, пересекающую $AB$ и $DC$ в точках $E$ и $F$. Из подобия и свойств средних линий получаем $DF=FN=AE=EM=6$, тогда $EH=EF-FH=24-6=18$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $EMH$: $$HM=\sqrt{EM^2+EH^2}=\sqrt{36+324}=\sqrt{360}=6\sqrt{10}.$$

Поскольку $MH$ — проекция $MK$ на плоскость основания, угол $\angle KMH$ — это угол между прямой $MK$ и основанием, то есть $30^\circ$. Тогда $$KH=MH\cdot\tan30^\circ=6\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt3}{3}=2\sqrt{30}.$$

Отсюда $SO=2KH=4\sqrt{30}$.

Площадь основания $S_{ABCD}=24^2=576$, значит $$V=\frac13 S_{ABCD}\cdot SO=\frac13\cdot576\cdot4\sqrt{30}=768\sqrt{30}.$$