Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$ (точка пересечения диагоналей). Так как $F$ — середина $SA$, отрезок $FO$ — средняя линия треугольника $SAC$, значит $FO\parallel SC$. По условию плоскость $\beta$ содержит прямую, параллельную $SC$, проходящую через $F$; такой прямой может быть только $FO$, поэтому $O\in\beta$, а значит и прямая $MO\subset\beta$.

Прямая $MO$ пересекает сторону $CD$ в точке $L$ (плоскость $\beta$ содержит и эту точку). Так как $K$ лежит на $SD$, а $L$ — на $CD$, прямая $KL$ лежит в плоскости $SDC$ и одновременно в $\beta$; поскольку $\beta\parallel SC$, пересечение плоскости $SDC$ с $\beta$ обязано быть параллельно $SC$, значит $KL\parallel SC$.

Треугольники $AMO$ и $CLO$ равны (по стороне $AO=CO$, углу $\angle AOM=\angle COL$ как вертикальным и $\angle OAM=\angle OCL$ как накрест лежащим при $AB\parallel CD$), следовательно $AM=CL$. Отсюда $BM=AB-AM=CD-CL=DL$, значит $BM:MA=DL:LC$.

По теореме Фалеса в треугольнике $SDC$ с $KL\parallel SC$: $DL:LC=DK:KS$. Соединяя равенства, получаем $BM:MA=DK:KS$.

б) Пусть $V$ — объём пирамиды $SABCD$, $S_0$ — площадь основания, $h$ — высота. При $BM:MA=3:1$ имеем $AM=\frac14 AB$, а по пункту а) $DK:KS=3:1$.

Треугольники $AOB,BOC,COD,DOA$ равны по площади ($\frac14S_0$ каждый). Так как $O$ и $B$ фиксированы, $S_{AMO}=\frac{AM}{AB}S_{ABO}=\frac1{16}S_0$, аналогично $S_{CLO}=\frac1{16}S_0$. Тогда $S_{AMOD}=S_{AOD}+S_{AMO}=\frac5{16}S_0$, $S_{DOL}=S_{COD}-S_{CLO}=\frac3{16}S_0$.

Поскольку $A,M,O,D$ лежат в плоскости основания, а $F$ — середина $SA$, высота пирамиды $FAMOD$ равна $\frac12h$: $$V_{FAMOD}=\frac13\cdot\frac5{16}S_0\cdot\frac12h=\frac5{32}V.$$ Точка $K$ делит $SD$ так, что $DK:DS=3:4$, поэтому высота над основанием равна $\frac34h$: $$V_{KDOL}=\frac13\cdot\frac3{16}S_0\cdot\frac34h=\frac9{64}V.$$ Пирамида $ASOD$ составляет $\frac14V$ (одна из четырёх равных частей). Так как $S_{KDO}:S_{SDO}=DK:DS=3:4$ (общая высота из $O$), $V_{AKDO}=\frac34\cdot\frac14V=\frac3{16}V$. Точка $F$ — середина $SA$, а плоскость $KDO$ проходит через $S$, поэтому высота из $F$ равна половине высоты из $A$: $$V_{FKDO}=\frac12V_{AKDO}=\frac3{32}V.$$

Складывая, получаем объём части, содержащей вершину $A$: $$V_{KFADLM}=\frac5{32}V+\frac9{64}V+\frac3{32}V=\frac{25}{64}V.$$ Вторая часть: $V_{SBCKLMF}=V-\frac{25}{64}V=\frac{39}{64}V.$

Итоговое отношение: $$\frac{V_{KFADLM}}{V_{SBCKLMF}}=\frac{25}{39}.$$