Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Диагональное сечение $BDA_1$ отсекает от параллелепипеда пирамиду $A_1ABD$. Её высота совпадает с высотой параллелепипеда $AA_1=8$, а основание $ABD$ — половина прямоугольника $ABCD$, то есть $S_{ABD}=\dfrac12 S_{ABCD}$.

Объём пирамиды: $V_{A_1ABD}=\dfrac13 S_{ABD}\cdot AA_1=\dfrac13\cdot\dfrac12 S_{ABCD}\cdot AA_1=\dfrac16 V_{параллелепипеда}$.

Значит, оставшаяся часть равна $\dfrac56 V$, и отношение частей $1:5$, что и требовалось доказать.

б) Найдём объём пирамиды $MB_1C_1D$ через основание $B_1C_1D$ и высоту из $M$.

Треугольник $B_1C_1D$ прямоугольный (катеты $B_1C_1=AD=12$, $C_1D=AB=5$ — стороны прямоугольника $A B_1C_1D$), поэтому $$S_{B_1C_1D}=\dfrac12\cdot12\cdot5\cdot\dfrac{\sqrt{89}}{5}=6\sqrt{89},$$ так как гипотенуза $B_1D=\sqrt{AB_1^2+AD^2}$, а $AB_1=\sqrt{AA_1^2+AB^2}=\sqrt{89}$, что даёт коэффициент для площади.

Основание лежит в плоскости $AB_1C_1D$, значит высота пирамиды — перпендикуляр из $M$ к этой плоскости. Опустим $ME\perp AB_1$ в плоскости $AA_1B_1B$; так как $AD\perp(AA_1B_1B)$, то $ME\perp AD$, следовательно $ME\perp$ плоскости $AB_1C_1D$, то есть $ME=h_M$.

Треугольники $AME$ и $ABB_1$ подобны (оба прямоугольные с общим углом при $A$), поэтому $$ME=\dfrac{AM\cdot AB}{AB_1}=\dfrac{5\cdot5}{\sqrt{89}}=\dfrac{25}{\sqrt{89}}.$$

Тогда $$V_{MB_1C_1D}=\dfrac13\cdot S_{B_1C_1D}\cdot ME=\dfrac13\cdot6\sqrt{89}\cdot\dfrac{25}{\sqrt{89}}=50.$$