Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Часть а) Доказательство деления рёбра B₁C₁

Обозначим PC₁ = x и B₁P = ax (где a — неизвестный параметр). Пусть сечение куба плоскостью α — это четырёхугольник BPQD, где Q лежит на C₁D₁.

Продолжим BP до пересечения с продолжением CC₁ в точке T. По подобию треугольников (ведь BP и DT лежат в одной плоскости с диагональю BD) получаем пропорцию: $\frac{CT}{C_1T} = \frac{(a+1)x}{x} = a+1 = \frac{DC}{QC_1}$. Так как DC = (3x), имеем $QC_1 = x$.

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, которую рассекает плоскость. Это сумма площадей трапеций DCC₁Q и CBPC₁: $$S = 2 \cdot (a+1)x \cdot \frac{x + (a+1)x}{2} = x^2(a+1)(a+2)$$

По условию эта площадь равна трети боковой поверхности куба (площадь боковой поверхности = $4(3x)^2 = 36x^2$): $$x^2(a+1)(a+2) = \frac{1}{3} \cdot 36x^2 = 12x^2$$ $$(a+1)(a+2) = 12 \implies a^2 + 3a + 2 = 12 \implies a = 2$$

Следовательно, $B_1P : PC_1 = 2x : x = 2 : 1$. ✓

Часть б) Отношение объёмов

Используем метод вычитания объёмов пирамид. Сечение BPQD отсекает из куба часть, которую можно представить как усечённую пирамиду с вершиной при продолжении куба.

Объём части куба, отсечённой плоскостью: $$V = V_{TBDC} - V_{TPQC_1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9x}{2} \cdot \frac{(3x)^2}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3x}{2} \cdot \frac{x^2}{2}$$ $$= \frac{1}{3} \cdot \frac{81x^3}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3x^3}{4} = \frac{78x^3}{12} = \frac{13x^3}{2}$$

Объём куба: $V_{куба} = (3x)^3 = 27x^3$.

Объём второй части: $27x^3 - \frac{13x^3}{2} = \frac{41x^3}{2}$.

Отношение: $$\frac{13x^3}{2} : \frac{41x^3}{2} = 13 : 41$$