Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Заметим, что центр квадратной грани — это середина её диагонали. Поэтому $K$ — середина $AC$, $L$ — середина $AD_1$, $M$ — середина $D_1C$. Значит треугольник $KLM$ — средняя линия треугольника $AD_1C$ в тетраэдре $B_1AD_1C$ (вершины этого тетраэдра — концы диагоналей граней куба, сходящихся в $B_1$).

а) Тетраэдр $B_1AD_1C$ правильный: все его рёбра — диагонали граней куба длины $6\sqrt2$. Отрезки $B_1K, B_1L, B_1M$ — медианы (а в равностороннем треугольнике медиана совпадает с апофемой) боковых граней $B_1AC$, $B_1AD_1$, $B_1D_1C$, которые равны как соответствующие элементы равных равносторонних треугольников. Значит $B_1K=B_1L=B_1M$ — боковые рёбра пирамиды $B_1KLM$ равны.

Поскольку $K,L,M$ — середины сторон равностороннего треугольника $AD_1C$, треугольник $KLM$ тоже равносторонний (подобен $AD_1C$ с коэффициентом $1/2$). Пирамида с равносторонним основанием и равными боковыми рёбрами — правильная, что и требовалось доказать.

б) Плоскости $KLM$ и $AD_1C$ параллельны (средняя линия), поэтому высота из $B_1$ на обе плоскости — одна и та же. Тогда отношение объёмов пирамид с общей вершиной $B_1$ равно отношению площадей оснований: $$\frac{V_{B_1KLM}}{V_{B_1AD_1C}}=\frac{S_{KLM}}{S_{AD_1C}}=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

Объём куба $V=6^3=216$. Куб разбивается на правильный тетраэдр $B_1AD_1C$ и четыре одинаковые «угловые» пирамиды (например $B_1ABC$), каждая с прямым трёхгранным углом при вершине куба, катетами $6,6,6$: $$V_{угл}=\frac13\cdot\frac12\cdot6\cdot6\cdot6=36=\frac{V}{6}.$$

Тогда $$V_{B_1AD_1C}=V-4\cdot\frac{V}{6}=V\left(1-\frac23\right)=\frac{V}{3}=72.$$

Отсюда $$V_{B_1KLM}=\frac14\cdot72=18.$$