Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Точки A, B, C, D одновременно лежат на сфере α и удовлетворяют условию SA=SB=SC=SD=7, то есть лежат ещё и на сфере с центром S и радиусом 7. Пересечение двух различных сфер — это окружность, значит A, B, C, D лежат на одной окружности, а следовательно, в одной плоскости. В этой плоскости AB=BC=CD=DA=4, то есть ABCD — ромб. Но ромб, все вершины которого лежат на одной окружности, обязательно является квадратом (у ромба, не являющегося квадратом, окружность, проходящую через все четыре вершины, провести нельзя, так как диагонали не равны). Значит, ABCD — квадрат. Так как SA=SB=SC=SD, вершина S равноудалена от всех вершин квадрата, то есть проецируется в его центр — основание высоты пирамиды совпадает с центром квадрата. Такая пирамида по определению правильная четырёхугольная.

б) Пусть O — центр квадрата ABCD со стороной 4. Площадь основания $S_{осн}=4^2=16$.

Диагональ квадрата $AC=4\sqrt2$, поэтому $AO=\dfrac{AC}{2}=2\sqrt2$.

Высота пирамиды SO находится из прямоугольного треугольника SOA (SO⊥основанию, SA — боковое ребро): $$SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{49-8}=\sqrt{41}.$$

Объём пирамиды: $$V=\frac13 S_{осн}\cdot SO=\frac13\cdot16\cdot\sqrt{41}=\frac{16\sqrt{41}}{3}.$$