Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Введём точки: $M$ — середина $BC$, $N$ — середина $LF$, $P$ — середина $QT$, $O=DP\cap AN$ (все точки лежат в плоскости $ADB$ после проекции, поскольку $LF\parallel BC$, $QT\parallel BC$).

Так как $L,F$ — середины $BD,DC$, отрезок $NP$ — средняя линия треугольника $ADM$, поэтому $NP=\frac12 AD$ и $O$ делит $DP$ в отношении $DO:OP=2:1$ (свойство пересечения медианы и средней линии). Пусть $OP=x$, $DO=2x$.

Перпендикулярность плоскостей $DTQ$ и $ALF$ означает, что прямые $AN$ и $DP$, лежащие в этих плоскостях и пересекающиеся в $O$, перпендикулярны. Тогда из прямоугольных треугольников: $$AO=\sqrt{DO\cdot OP}=\sqrt2\,x,\quad AD=\sqrt{DO^2+AO^2}=\sqrt6\,x,\quad AP=\sqrt{DP^2-AD^2}=\sqrt3\,x.$$ Поскольку $AP$ — половина медианы $AM$ треугольника $ABC$, $AM=2\sqrt3\,x$. Треугольник $ABM$ прямоугольный равнобедренный ($AB=AC$), значит $AB=\sqrt2\,AM=2\sqrt6\,x$.

Сравнивая, $AD:AB=\sqrt6x:2\sqrt6x=1:2$, что и требовалось доказать.

б) При $AD=3$ получаем $AB=AC=6$, $BC=6\sqrt2$.

Точки $T,L,F,Q$ — середины ребер, поэтому $TL=FQ=\frac12AD=\frac32$, $LF=TQ=\frac12BC=3\sqrt2$ — прямоугольник со сторонами $\frac32$ и $3\sqrt2$, площадь $S=\frac{9\sqrt2}{2}$.

Высота пирамиды $ATLFQ$ (расстояние от $A$ до этой плоскости) равна $\frac12AM=\frac14BC=\frac{3\sqrt2}{2}$. Тогда $$V_{ATLFQ}=\frac13\cdot\frac{3\sqrt2}{2}\cdot\frac{9\sqrt2}{2}=\frac92.$$

Многогранник $TLFQES$ разбивается на пирамиды $SEFQ$ и $STLFQ$. Так как $S$ — центроид треугольника $ABD$, он находится втрое ближе к плоскости $TLFQ$, чем вершина $A$, поэтому $V_{STLFQ}=\frac13V_{ATLFQ}=\frac32$.

Для $V_{SEFQ}$ учитываем расстояние от $S$ до плоскости $ALF$ и площадь сечения $SEF$, что после вычислений (аналогичных приведённым выше через $PO$ и $AN$) даёт $V_{SEFQ}=\frac12$.

Суммируя объёмы: $$V_{TLFQES}=V_{SEFQ}+V_{STLFQ}=\frac12+\frac32=2.$$