Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) $PQ$ — средняя линия треугольника $ADC$, поэтому $PQ\parallel AC$. Так как $AM:MB=CN:NB=1:3$, по обратной теореме Фалеса $MN\parallel AC$. Значит, $MN\parallel PQ$, а через две параллельные прямые можно провести (и притом единственную) плоскость — значит, $P,Q,M,N$ лежат в одной плоскости.

б) Секущая плоскость отсекает от пирамиды многогранник $APQCNM$, который удобно разбить на два тетраэдра: $PAMNC$ (точнее пирамиду с вершиной $P$ и основанием $AMNC$) и $PQNC$.

Точка $P$ — середина $DA$, поэтому расстояние от $P$ до плоскости $ABC$ равно половине высоты $h_D$ пирамиды из вершины $D$. Тогда $$\frac{V_{PAMNC}}{V_{DABC}}=\frac{\frac13\cdot\frac12 h_D\cdot S_{AMNC}}{\frac13 h_D\cdot S_{ABC}}=\frac12\cdot\frac{S_{ABC}-S_{MBN}}{S_{ABC}}.$$ Площадь $S_{MBN}=\frac{MB}{AB}\cdot\frac{NB}{CB}\cdot S_{ABC}=\left(\frac34\right)^2 S_{ABC}$, откуда $\frac{V_{PAMNC}}{V_{DABC}}=\frac12\left(1-\frac{9}{16}\right)=\frac{7}{32}$.

Аналогично, $P$ делит $AD$ пополам, значит расстояние от $P$ до плоскости $BCD$ равно половине высоты $h_A$ из вершины $A$: $$\frac{V_{PQNC}}{V_{DABC}}=\frac{\frac13\cdot\frac12 h_A\cdot S_{QNC}}{\frac13 h_A\cdot S_{BCD}}=\frac12\cdot\frac{CQ}{CD}\cdot\frac{CN}{CB}=\frac12\cdot\frac12\cdot\frac14=\frac{1}{16}.$$

Складывая: $\dfrac{V_{APQCNM}}{V_{DABC}}=\dfrac{7}{32}+\dfrac1{16}=\dfrac{9}{32}$. Тогда объём второй части равен $1-\dfrac9{32}=\dfrac{23}{32}$ от объёма пирамиды, и искомое отношение объёмов частей — $9:23$.