Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Доказательство отношения 5:1. Пусть $E$ — середина $AB$, тогда $CE$ — медиана (и высота) равностороннего $\triangle ABC$. Проекция вершины $S$ на основание — точка $O$, центр треугольника, поэтому по свойству медиан $CO=\frac{2}{3}CE$, $OE=\frac{1}{3}CE$.

$M,N$ — середины $SA,SB$, значит $MN$ — средняя линия $\triangle SAB$, параллельная $AB$ и проходящая через середину любой чевианы из $S$, в частности через середину $SE$ — точку $F_1$.

Плоскость $\alpha$ вертикальна (перпендикулярна основанию) и содержит $MN$, поэтому след $\alpha$ на плоскости $ABC$ — это проекция точки $F_1$, т.е. проекция середины $SE$. Так как $S\to O$, $E\to E$, середина $SE$ проецируется в середину $OE$ — точку $F$. Значит $OF=\frac12 OE=\frac16 CE$.

Тогда $CF=CO+OF=\frac23CE+\frac16CE=\frac56CE$, то есть $CF:FE=5:1$, что и требовалось доказать.

б) Вычисление объёма. По теореме Пифагора в прямоугольном $\triangle BCE$ ($CE\perp AB$): $$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3.$$ Отсюда $OC=\frac23\cdot6\sqrt3=4\sqrt3$, $CF=\frac56\cdot6\sqrt3=5\sqrt3$ — это высота искомой пирамиды $C$-сечение, так как $CE\perp AB$, а плоскость $\alpha$ вертикальна, значит $CF$ — расстояние от $C$ до плоскости $\alpha$.

Сечение — трапеция $MNZK$, где $K,Z$ — точки пересечения $\alpha$ со сторонами $AC,BC$ (линия $KZ\parallel AB$ через точку $F$). По подобию треугольников (масштаб $CF/CE$): $$KZ=AB\cdot\frac{CF}{CE}=12\cdot\frac56=10,\qquad MN=\frac{AB}{2}=6.$$

Высоту трапеции найдём как $F_1F=\frac{SO}{2}$, где $SO$ — высота пирамиды: $$SO=\sqrt{SC^2-OC^2}=\sqrt{8^2-(4\sqrt3)^2}=\sqrt{64-48}=4,\quad F_1F=2.$$

Площадь трапеции: $$S=\frac{MN+KZ}{2}\cdot F_1F=\frac{6+10}{2}\cdot2=16.$$

Объём пирамиды с вершиной $C$ и основанием этой трапеции: $$V=\frac13\,S\cdot CF=\frac13\cdot16\cdot5\sqrt3=\frac{80\sqrt3}{3}.$$