Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пирамида правильная, поэтому $AB=BC=CA=6$, $SA=SB=SC=5$. Пусть $H$ — середина $BC$. В равнобедренных треугольниках $ABC$ и $SBC$ медианы $AH$ и $SH$ являются высотами, значит $BC\perp AH$ и $BC\perp SH$, то есть $BC$ перпендикулярна плоскости $ASH$, а тогда $BC\perp SA$.

Плоскость $\alpha\parallel SA$, значит её следы на плоскостях $SAB$ и $SAC$ — прямые $KL$ и $MN$, параллельные $SA$. По теореме Фалеса это даёт $\dfrac{BK}{BA}=\dfrac{BL}{BS}$ и $\dfrac{CM}{CS}=\dfrac{CN}{CA}$, откуда $SL:LB=AK:KB=SM:MC=AN:NC=5:1$. Из равенства этих отношений следует, что $LM\parallel BC$ и $KN\parallel BC$ (снова по теореме Фалеса). Значит $KLMN$ — параллелограмм со сторонами, параллельными $SA$ и $BC$, а так как $SA\perp BC$, это прямоугольник.

б) Найдём стороны прямоугольника: $KN=\dfrac{AK}{AB}\cdot BC=\dfrac56\cdot6=5$, $KL=\dfrac{BK}{BA}\cdot SA=\dfrac16\cdot5=\dfrac56$. Площадь сечения $S=KN\cdot KL=\dfrac{25}{6}$.

Высота пирамиды $A$-$KLMN$ — это расстояние от прямой $SA$ (параллельной плоскости $\alpha$) до плоскости сечения, которое удобно искать в плоскости $ASH$, перпендикулярной $BC$ (а значит и плоскости $\alpha$). Пусть $O$ — центр основания, тогда $AH=3\sqrt3$, $AO=\dfrac23AH=2\sqrt3$, $\cos\angle SAO=\dfrac{AO}{SA}=\dfrac{2\sqrt3}{5}$, $\sin\angle SAO=\dfrac{\sqrt{13}}{5}$.

Точка $E$ пересечения прямой $KN$ с $AH$ делит $AH$ в том же отношении, что $K$ делит $AB$: $AE=\dfrac56AH=\dfrac{5\sqrt3}{2}$. Тогда высота $h=AE\sin\angle SAO=\dfrac{5\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{13}}{5}=\dfrac{\sqrt{39}}{2}$.

Объём: $V=\dfrac13\cdot S\cdot h=\dfrac13\cdot\dfrac{25}{6}\cdot\dfrac{\sqrt{39}}{2}=\dfrac{25\sqrt{39}}{36}$.