Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Обозначим D — середину AB (тогда MD и CD — высоты равносторонних треугольников AMB и ABC), F — середину MB. Так как P — середина AM, а F — середина MB, отрезок PF — средняя линия треугольника AMB, параллельная AB, а его середина лежит на высоте MD (медиана MD проходит через середину любой параллели к AB). Значит MD служит медианой в треугольнике PMF, идущей из вершины M к стороне PF.

Поскольку BT:TM=3:1, получаем MT=MB/4=MF/2, то есть T — середина MF. Тогда PT — медиана треугольника PMF из вершины P к стороне MF.

Плоскость CPT пересекает MD в точке E, которая лежит на пересечении медиан MD и PT треугольника PMF — то есть в его центроиде. Известно, что центроид делит медиану в отношении $2:1$ от вершины, поэтому $ME=\frac{2}{3}$ от медианы MD' (D' — середина PF). Но D' лежит на середине MD, значит $MD'=\frac12 MD$, откуда $ME=\frac{2}{3}\cdot\frac12 MD=\frac13 MD$. Следовательно, $ME:ED=1:2$, что и требовалось.

б) Плоскости ABC и ABM перпендикулярны и пересекаются по AB. Высота CD треугольника ABC перпендикулярна AB, значит по признаку перпендикулярности плоскостей CD⊥ плоскости ABM. Так как основание MPT пирамиды лежит в плоскости ABM, CD — высота пирамиды MPTC.

$$CD=\frac{AB\sqrt3}{2}=\frac{10\sqrt3\cdot\sqrt3}{2}=15.$$

Так как $P$ — середина $AM$, $\dfrac{MP}{MA}=\dfrac12$; так как $MT=\dfrac{MB}{4}$, $\dfrac{MT}{MB}=\dfrac14$. Площади треугольников с общим углом при вершине M связаны произведением отношений сторон: $$\frac{S_{MPT}}{S_{MAB}}=\frac{MP\cdot MT}{MA\cdot MB}=\frac12\cdot\frac14=\frac18.$$

Площадь равностороннего треугольника ABM: $$S_{MAB}=\frac{AB^{2}\sqrt3}{4}=\frac{300\sqrt3}{4}=75\sqrt3.$$

Отсюда $S_{MPT}=\dfrac{75\sqrt3}{8}$.

Объём пирамиды: $$V=\frac13 S_{MPT}\cdot CD=\frac13\cdot\frac{75\sqrt3}{8}\cdot15=\frac{375\sqrt3}{8}.$$