Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Обозначим сторону основания $a=8\sqrt3$, высоту пирамиды $SO=12$.

а) Через центр $O$ проводим прямую, параллельную одновременно $AM$ и $SK$ — это и есть след плоскости $\alpha$ в основании. Вводим вспомогательные точки: $G$ — точка пересечения прямой, параллельной $AM$ через середину медианы $SB$, с продолжением $AB$; $N,T$ — точки пересечения прямой $GO$ с $BC$ и $AD$.

По теореме Фалеса для угла $ESB$ и параллельных $GQ\parallel AM$: $\dfrac{SQ}{QM}=\dfrac{SL}{LF}=\dfrac{3}{1}\Rightarrow SQ=\dfrac38SB$. Из подобия $\triangle ABM\sim\triangle GBQ$: $\dfrac{BA}{BG}=\dfrac45\Rightarrow BG=\dfrac54AB,\ AG=\dfrac14AB$.

Далее по теореме Фалеса для угла $BGN$ (прямые $AT\parallel EO$): $\dfrac{GA}{GE}=\dfrac{AT}{EO}=\dfrac13\Rightarrow AT=\dfrac16AD$. Из подобия $\triangle AGT\sim\triangle BGN$: $\dfrac{AT}{BN}=\dfrac{GA}{GB}\Rightarrow BN=\dfrac56BC$, значит $BN:NC=5:1$ — что и требовалось.

б) Искомое сечение $APTNQ$ проще найти как разность двух больших пирамид, вершины которых лежат на боковых рёбрах.

Пирамида $QGBN$: её высота из $Q$ пропорциональна $QB/SB=5/8$ высоты $SO$, значит $h_1=\dfrac58\cdot12=7{,}5$. Площадь основания $S_{GBN}=\dfrac12\cdot GB\cdot BN=\dfrac12\cdot\dfrac54a\cdot\dfrac56a=\dfrac{25}{48}a^2=\dfrac{25}{48}\cdot192=100$. Тогда $V_{QGBN}=\dfrac13\cdot7{,}5\cdot100=250$.

Пирамида $PGAT$: по теореме Фалеса $\dfrac{PA}{SA}=\dfrac{QM}{SM}=\dfrac14$, значит $h_2=\dfrac14\cdot12=3$. Площадь основания $S_{GAT}=\dfrac12\cdot GA\cdot AT=\dfrac12\cdot\dfrac14a\cdot\dfrac16a=\dfrac{a^2}{48}=4$. Тогда $V_{PGAT}=\dfrac13\cdot3\cdot4=4$.

Искомый объём: $V=V_{QGBN}-V_{PGAT}=250-4=246$.