Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Координаты. Поместим центр нижнего основания в точку $O(0,0,0)$, ось $Oz$ — вдоль боковых рёбер. Для правильного шестиугольника со стороной $6$ его вершины лежат на окружности радиуса $6$: $A(6,0,0),\;B(3,3\sqrt3,0),\;C(-3,3\sqrt3,0),\;D(-6,0,0),\;E(-3,-3\sqrt3,0),\;F(3,-3\sqrt3,0)$, верхняя грань на высоте $5\sqrt3$.

Точка M. Так как $DM:MD_1=2:3$, то $DM=\tfrac{2}{5}\cdot5\sqrt3=2\sqrt3$, значит $M(-6,0,2\sqrt3)$.

Плоскость $\alpha$. Направление $A_1F_1$ совпадает с $(1,\sqrt3,0)$. Через $B$ и $M$, параллельно этому вектору, строим плоскость (нормаль — векторное произведение $\vec{BM}\times(1,\sqrt3,0)$): получаем уравнение $$\sqrt3x-y+3z=0.$$ Подставив $E(-3,-3\sqrt3,0)$, получаем $0$ — значит вся сторона $BE$ уже лежит в этой плоскости. На ребре $CC_1$ ищем точку $N$: подстановка параметризации даёт $CN=2\sqrt3$, т.е. $N(-3,3\sqrt3,2\sqrt3)$.

а) Форма сечения. Сечение — четырёхугольник $BEMN$. Векторы $BE$ и $MN$ оба коллинеарны $(1,\sqrt3,0)$, значит стороны параллельны: $BE=12$, $MN=6$ (разные, значит трапеция). Боковые стороны: $EM=BN=4\sqrt3$ (равны в силу симметрии $CN=DM$), значит трапеция равнобедренная.

б) Объём. Высота трапеции: $h=\sqrt{EM^2-\left(\dfrac{BE-MN}{2}\right)^2}=\sqrt{48-9}=\sqrt{39}$. Площадь сечения: $S=\dfrac12(BE+MN)h=\dfrac12\cdot18\cdot\sqrt{39}=9\sqrt{39}$. Расстояние от $A_1(6,0,5\sqrt3)$ до плоскости $\sqrt3x-y+3z=0$: $$d=\frac{|\sqrt3\cdot6-0+3\cdot5\sqrt3|}{\sqrt{3+1+9}}=\frac{21\sqrt3}{\sqrt{13}}=\frac{21\sqrt{39}}{13}.$$ Объём пирамиды $A_1BEMN$: $$V=\frac13 S\,d=\frac13\cdot9\sqrt{39}\cdot\frac{21\sqrt{39}}{13}=\frac{9\cdot21\cdot39}{3\cdot13}=189.$$