Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, сторона AB основания которой равна 32, а боковое ребро BB1 равно [4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .] На рёбрах AB и В1C1 отмечены точки K и L соответственно, причём AK = 2, B1L = 28. Точка М — середина ребра A1C1. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC. а) Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой MB. б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка M, а основанием — сечение данной призмы плоскостью γ.

ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Объёмы многогранников

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Объем телаПерпендикулярность прямой и плоскости

Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, сторона AB основания которой равна 32, а боковое ребро BB₁ равно $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ На рёбрах AB и В₁C₁ отмечены точки K и L соответственно, причём AK  =  2, B₁L  =  28. Точка М  — середина ребра A₁C₁. Плоскость γ проходит через точки K и L и параллельна прямой AC.

а)  Докажите, что плоскость γ перпендикулярна прямой MB.

б)  Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка M, а основанием  — сечение данной призмы плоскостью γ.

В подтеме 60 задач

Разбор

Главная идея: Показать, что прямая BM перпендикулярна двум пересекающимся прямым сечения (одна параллельна AC, другая — построенному отрезку ST), тогда BM — перпендикуляр к плоскости γ и служит направлением высоты искомой пирамиды.

Так как γ ∥ AC и пересекает основания призмы, сечение — трапеция $KK_1LL_1$ , где $K_1\in A_1B_1$ , $L_1\in BC$ , причём $KL_1\parallel K_1L\parallel AC$ (плоскость пересекает две параллельные плоскости оснований по параллельным прямым, а также параллельна AC).
Из подобия треугольников на основаниях: $AB=32,\ AK=2\Rightarrow BK=30$ , значит $BL_1=BK=30$ (по теореме о пропорциональных отрезках, т.к. $KL_1\parallel AC$ ). Аналогично $B_1L=28\Rightarrow K_1L=B_1K_1=28$ .
Пусть $H$ — середина $AC$ , тогда $BH=B_1M=\dfrac{AB\sqrt3}{2}=16\sqrt3$ — медианы равносторонних треугольников. На отрезках $BH$ и $B_1M$ строим точки $S,T$ пересечения с γ; вычислениями (через пропорции на трапеции) получаем $BS=15\sqrt3,\ B_1T=14\sqrt3$ , откуда $HS=\sqrt3,\ MT=2\sqrt3$ . Строим $MN\parallel ST$ , тогда $NH=\sqrt3,\ NS=2\sqrt3$ .
Проверяем $\sqrt{NH\cdot HB}=\sqrt{\sqrt3\cdot16\sqrt3}=4\sqrt3=BB_1=MH$ — значит по теореме, обратной теореме о высоте прямоугольного треугольника, угол $BMN=90^\circ$ , т.е. $MN\perp BM$ , а значит и $ST\perp BM$ .
Так как $MH\perp(ABC)$ и $AC\perp BH$ , то $AC\perp BM$ (AC перпендикулярна плоскости, содержащей BH и MH). По той же логике $KL\perp BM$ . Итак, две пересекающиеся прямые плоскости γ ( $ST$ и $AC/KL$ ) перпендикулярны $BM$ , значит $BM\perp\gamma$ — это и требовалось доказать (п. а).
Для объёма: высота пирамиды с вершиной $M$ равна отрезку $MR$ , где $R=BM\cap\gamma$ , так как $BM\perp\gamma$ .
Площадь основания — трапеции: $ST=MN=\sqrt{MH^2+NH^2}=\sqrt{48+3}=\sqrt{51}$ , $S=\dfrac12(KL_1+K_1L)\cdot ST=\dfrac12(30+28)\sqrt{51}=29\sqrt{51}$ .
$BM=\sqrt{BH^2+MH^2}=\sqrt{768+48}=4\sqrt{51}$ . Из подобия $\dfrac{MR}{BR}=\dfrac{MT}{BS}=\dfrac{2\sqrt3}{15\sqrt3}=\dfrac2{15}$ , отсюда $MR=\dfrac{2}{17}BM=\dfrac{8\sqrt{51}}{17}$ .
Объём: $V=\dfrac13\cdot29\sqrt{51}\cdot\dfrac{8\sqrt{51}}{17}=\dfrac{29\cdot8\cdot51}{3\cdot17}=232$ .

Типичные ошибки

Неверно определять форму сечения и путать, какие стороны трапеции параллельны AC.
Забывать доказать перпендикулярность именно двум пересекающимся прямым плоскости, а не одной.
Ошибки в подсчёте длин отрезков через пропорции (BL1, K1L, BS, B1T) из-за путаницы в отношениях подобных треугольников.

Непонятно?

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Типичные ошибки

Похожие задачи