Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Общие данные. Пирамида правильная, значит все боковые рёбра равны 7, а вершина S проецируется в центр O квадрата ABCD. На AB: AM=2, MB=6; на SB: SK=1, KB=6.

а) Перпендикулярность плоскостей. Проведём в основании диагональ BD и прямую CM; пусть они пересекаются в точке H. Так как $MB\parallel CD$, треугольники MHB и CHD подобны, отсюда $\dfrac{BH}{HD}=\dfrac{MB}{CD}=\dfrac{6}{8}=\dfrac34$, значит $BH=\dfrac37BD$.

Центр O — середина BD, поэтому $\dfrac{BH}{BO}=\dfrac{2BH}{BD}=\dfrac{6}{7}$. С другой стороны $\dfrac{BK}{BS}=\dfrac{6}{7}$ — то же отношение. По теореме Фалеса (обратной) $KH\parallel SO$.

Высота пирамиды $SO\perp$ плоскости ABC, значит и $KH\perp$ плоскости ABC. Точка H лежит на прямой CM, а K — тоже точка плоскости CKM, поэтому прямая KH целиком лежит в плоскости CKM. Плоскость, содержащая прямую, перпендикулярную другой плоскости, сама перпендикулярна ей. Значит, $CKM\perp ABC$.

б) Объём пирамиды BCKM. Найдём $OB=\dfrac{AB\sqrt2}{2}=4\sqrt2$, тогда $SO=\sqrt{SB^2-OB^2}=\sqrt{49-32}=\sqrt{17}$.

Так как высота точки K над основанием линейно зависит от положения на отрезке SB (от 0 в точке B до $SO$ в точке S), высота h из K до плоскости ABC равна $h=\dfrac{KB}{SB}\cdot SO=\dfrac{6}{7}\sqrt{17}$.

Площадь основания BCM (прямой угол при B, так как ABCD — квадрат): $S_{BCM}=\dfrac{MB\cdot BC}{2}=\dfrac{6\cdot8}{2}=24$.

Объём: $V=\dfrac13\,h\,S_{BCM}=\dfrac13\cdot\dfrac{6\sqrt{17}}{7}\cdot24=\dfrac{48\sqrt{17}}{7}$.