Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пусть $O$ — центр основания, $SO$ — высота пирамиды (перпендикулярна плоскости $ABC$). Пусть $P=FC\cap DM$.

Так как $OD\parallel BC$ (диагональ правильного шестиугольника параллельна противоположной стороне), треугольники $ODP$ и $CMP$ подобны по признаку двух углов. Отсюда $OP:PC=OD:MC=7:3$ (так как $OD=7$ — радиус описанной окружности, равный стороне, а $MC=BC-BM=3$).

По условию $SK=7$, $KC=SC-SK=3$, то есть $SK:KC=7:3$. Значит $OP:PC=SK:KC$, а по обратной теореме Фалеса в треугольнике $OSC$ прямая $PK\parallel OS$.

Поскольку $OS\perp$ плоскости основания, то и $PK\perp$ плоскости основания. Прямая $PK$ лежит в плоскости $MKD$ (точки $P\in DM$, $K$ — вершина этой плоскости), значит плоскость $MKD$ содержит перпендикуляр к плоскости основания, а значит сама перпендикулярна ей. Что и требовалось доказать.

б) Найдём $SO$: в правильной пирамиде $OC=BC=7$ (радиус описанной окружности шестиугольника равен стороне), поэтому по теореме Пифагора $$SO^2=SC^2-OC^2=10^2-7^2=51,\quad SO=\sqrt{51}.$$

Из подобия $OP:PC=7:3$ следует $PC:OC=3:10$, поэтому из подобия треугольников $OSC$ и $PKC$ высота $$PK=SO\cdot\dfrac{PC}{OC}=\sqrt{51}\cdot\dfrac{3}{10}=\dfrac{3\sqrt{51}}{10}.$$ Это и есть перпендикуляр из $K$ на плоскость основания — высота пирамиды $CDKM$ (так как $MCD$ лежит в этой плоскости).

Площадь основания $MCD$: угол между сторонами шестиугольника $120^\circ$, поэтому $$S_{MCD}=\dfrac12\cdot MC\cdot CD\cdot\sin120^\circ=\dfrac12\cdot3\cdot7\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{21\sqrt3}{4}.$$

Объём пирамиды: $$V=\dfrac13\cdot PK\cdot S_{MCD}=\dfrac13\cdot\dfrac{3\sqrt{51}}{10}\cdot\dfrac{21\sqrt3}{4}=\dfrac{63\sqrt{153}}{120}=\dfrac{63\cdot3\sqrt{17}}{120}=\dfrac{63\sqrt{17}}{40}.$$