Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Построим на нижнем основании точку $K_1$ — середину $AB$ (тогда $KK_1\parallel AC$, так как $K$ — середина $BC$), а на верхнем основании точку $L_1\in B_1C_1$ так, что $LL_1\parallel A_1C_1$. Секущая плоскость — это плоскость $LL_1KK_1$.

а) Проекция $BM$ на плоскость $ABC$ — медиана $BN$ равностороннего треугольника $ABC$ ($N$ — середина $AC$), а медиана в правильном треугольнике перпендикулярна противоположной стороне, значит $BN\perp AC$. По теореме о трёх перпендикулярах $BM\perp AC$, а значит и $BM\perp KK_1$.

Осталось показать $BM\perp K_1L$. Спроецируем $M$ на грань $AA_1B_1B$ — получим точку $M_1$ с $A_1M_1=\tfrac14 A_1B_1=3$. Введя проекции $M_2,L_2$ точек $M_1,L$ на $AB$, получаем $\tan\angle M_1BM_2=\dfrac{3}{9}=\dfrac13$, $\tan\angle LK_1L_2=\dfrac{3}{1}=3$. Так как эти тангенсы взаимно обратны, соответствующие углы в сумме дают $90^\circ$, следовательно угол между $BM_1$ и $K_1L$ равен $90^\circ$. По теореме о трёх перпендикулярах $BM\perp K_1L$.

Таким образом $BM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $KK_1$ и $K_1L$ плоскости сечения, значит $BM$ перпендикулярна всей плоскости сечения.

б) Так как $\triangle B_1LL_1$ равносторонний со стороной $B_1L=5$, то $LL_1=5$. Разобьём пирамиду $B\,LL_1KK_1$ на две: $BL_1KK_1$ и $BLK_1L_1$.

$\triangle K_1BK$ равносторонний со стороной $6$, его площадь $S=\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=9\sqrt3$, а расстояние от $L_1$ до плоскости $ABC$ равно высоте призмы $3$: $$V_{L_1BKK_1}=\frac13\cdot3\cdot9\sqrt3=9\sqrt3.$$

Для второй пирамиды используем формулу через скрещивающиеся рёбра $K_1B$ и $LL_1$: расстояние между ними равно $3$ (расстоянию между параллельными плоскостями оснований), угол между ними $60^\circ$: $$V_{LK_1BL_1}=\frac16\cdot K_1B\cdot LL_1\cdot d\cdot\sin60^\circ=\frac16\cdot6\cdot5\cdot3\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{15\sqrt3}{2}.$$

Сумма объёмов: $$V=9\sqrt3+\frac{15\sqrt3}{2}=\frac{33\sqrt3}{2}.$$