ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Объёмы многогранников

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 14ТетраэдрДеление отрезка

Дан тетраэдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на ребрах AC, AD, DB и BC соответственно, так, что четырехугольник KLMN  — квадрат, и AK : KC  =  3 : 7.

а)  Докажите, что AB : CD =3: 7.

б)  Найдите объём пирамиды CKLMN, если объём тетраэдра ABCD равен 100.

В подтеме 60 задач
Разбор
Главная идея: Использовать параллельность сторон квадрата плоскостям и рёбрам тетраэдра, чтобы через подобие треугольников выразить все линейные размеры сечения через отношение AK:KC, а затем через них выразить объём малой пирамиды как долю объёма всего тетраэдра.

а) Так как KLMN — квадрат, стороны KL и NM параллельны друг другу. Значит, прямая KL параллельна плоскости BCD (ведь она параллельна прямой NM, лежащей в этой плоскости). Но KL лежит и в плоскости ACD, а плоскость ACD пересекает плоскость BCD по прямой CD. Прямая, параллельная плоскости и лежащая в плоскости, пересекающей эту плоскость, параллельна линии пересечения — значит KL∥CDKL\parallel CD. По той же причине KN∥ABKN\parallel AB.

Поскольку KL∥CDKL\parallel CD, треугольники AKLAKL и ACDACD подобны (общий угол при A, параллельные стороны). Отсюда KLCD=AKAC=310\dfrac{KL}{CD}=\dfrac{AK}{AC}=\dfrac{3}{10}, то есть KL=310CDKL=\dfrac{3}{10}CD.

Аналогично из KN∥ABKN\parallel AB треугольники CKNCKN и CABCAB подобны, и KNAB=CKCA=710\dfrac{KN}{AB}=\dfrac{CK}{CA}=\dfrac{7}{10}, значит KN=710ABKN=\dfrac{7}{10}AB.

В квадрате все стороны равны, поэтому KN=KLKN=KL. Приравнивая выражения, получаем 710AB=310CD\dfrac{7}{10}AB=\dfrac{3}{10}CD, откуда ABCD=37\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{3}{7}, то есть AB:CD=3:7AB:CD=3:7, что и требовалось.

б) Диагональ KM делит квадрат KLMN на два равных треугольника, поэтому VCKLMN=2VCKMNV_{CKLMN}=2V_{CKMN} (пирамида с той же вершиной C и основанием — половиной квадрата).

Точка K делит AC в отношении AK:KC=3:7AK:KC=3:7, поэтому высота из вершины A на плоскость KMN (обозначим её AH — высота исходного тетраэдра) связана с высотой KH1KH_1 пирамиды CKMNCKMN соотношением подобия: KH1=CKCA⋅AH=710AHKH_1=\dfrac{CK}{CA}\cdot AH=\dfrac{7}{10}AH — расстояние от K до плоскости CMN пропорционально расстоянию от A до плоскости BCD с тем же коэффициентом.

Площадь треугольника CMN находим через площадь BCD: так как M делит DB в том же отношении, что и N делит CB (по подобию из пункта а), SCMN=CNCB⋅SCMB=710⋅310SBCD=21100SBCDS_{CMN}=\dfrac{CN}{CB}\cdot S_{CMB}=\dfrac{7}{10}\cdot\dfrac{3}{10}S_{BCD}=\dfrac{21}{100}S_{BCD}.

Теперь считаем объём: VCKLMN=2VCKMN=2⋅13KH1⋅SCMN=2⋅13⋅710AH⋅21100SBCD.V_{CKLMN}=2V_{CKMN}=2\cdot\frac13 KH_1\cdot S_{CMN}=2\cdot\frac13\cdot\frac{7}{10}AH\cdot\frac{21}{100}S_{BCD}.

Заметим, что 13AH⋅SBCD=VABCD\frac13 AH\cdot S_{BCD}=V_{ABCD}, поэтому VCKLMN=2⋅710⋅21100⋅VABCD=2⋅710⋅21100⋅100=29410=29,4.V_{CKLMN}=2\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{21}{100}\cdot V_{ABCD}=2\cdot\frac{7}{10}\cdot\frac{21}{100}\cdot100=\frac{294}{10}=29{,}4.

Типичные ошибки

  • Не доказывают, что KL и NM параллельны CD и AB, а просто считают это очевидным без ссылки на признак параллельности прямой и плоскости.
  • Ошибочно считают, что V_CKLMN равен объёму одной пирамиды CKMN, забывая, что квадрат делится диагональю на два равных треугольника, и нужно умножать на 2.
  • Путают отношения при вычислении площади S_CMN, беря коэффициент подобия не от той вершины (например, используют AK:KC вместо CK:CA и CN:CB).
Непонятно?

Похожие задачи