Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Обозначим $Q=ML\cap CD$, $P=MK\cap AD$. Применим теорему Менелая к треугольнику $DSC$ и секущей $QM$: $$\frac{DM}{MS}\cdot\frac{SL}{LC}\cdot\frac{CQ}{QD}=1.$$ Подставив $DM=MS$ и $SL:LC=2:1$, получаем $DQ=2CQ$, откуда $DC=CQ$, т.е. $C$ — середина $DQ$. Аналогично, работая с треугольником $DSA$ и секущей $PK$, получаем $DA=AP$, т.е. $A$ — середина $DP$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, $\angle PAB=\angle ADC=\angle BCQ$, а $PA=BC$, $AB=CQ$ (все равны сторонам параллелограмма). По признаку СУГ треугольники $PAB$ и $BCQ$ равны, значит $\angle PBA=\angle CBQ$. Тогда $$\angle PBA+\angle ABC+\angle CBQ=180^\circ,$$ что означает, что точки $P,\,B,\,Q$ лежат на одной прямой — линии пересечения плоскости $ABCD$ с плоскостью $KML$. Значит, $B$ лежит в плоскости $KML$.

б) Точки $K$ и $M$ лежат на сторонах $SA$ и $SD$ треугольника $SAD$, поэтому четырёхугольник $AKMD$ — это треугольник $SAD$ без "уголка" $SMK$. Сравним площади: $$\frac{S_{SMK}}{S_{SDA}}=\frac{SM\cdot SK}{SD\cdot SA}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac13,$$ следовательно $S_{AKMD}=\dfrac{2}{3}S_{SDA}$.

Пирамиды $B\text{-}AKMD$ и $B\text{-}SDA$ имеют общую вершину $B$ и лежат в одной плоскости $SAD$, значит их высоты (расстояние от $B$ до этой плоскости) совпадают. Поэтому отношение объёмов равно отношению площадей оснований: $$V_{BAKMD}=\frac23 V_{BSDA}.$$

Диагональ $BD$ делит параллелограмм $ABCD$ на два равных по площади треугольника, поэтому $V_{BSDA}=\dfrac12 V_{SABCD}$. Объём исходной пирамиды: $$V_{SABCD}=\frac13\cdot S_{ABCD}\cdot h=\frac13\cdot18\cdot7=42.$$

Тогда $V_{BSDA}=21$, и $$V_{BAKMD}=\frac23\cdot21=14.$$