Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Так как $AM:MB=1:2$, то $AM:AB=1:3$; аналогично $CN:CB=1:3$. По теореме, обратной теореме Фалеса (о пропорциональных отрезках на сторонах угла), это значит, что $MN\parallel AC$. С другой стороны, $P$ и $Q$ — середины $DA$ и $DC$, поэтому $PQ$ — средняя линия треугольника $ADC$, и $PQ\parallel AC$. Значит, $MN\parallel PQ$, а параллельные прямые лежат в одной плоскости — значит, точки $P,Q,M,N$ компланарны.

б) Пусть $V$ — объём пирамиды $ABCD$. Плоскость $PQMN$ отсекает от неё пятигранник $APMNCQ$, который удобно разбить на две пирамиды: $PQCN$ (вершина $P$, основание $QCN$) и $PACNM$ (вершина $P$, основание $ACNM$).

Треугольник $QCN$ лежит в плоскости $BCD$ (точки $Q\in DC$, $N\in CB$). Так как $P$ — середина $AD$, а $D$ лежит в этой плоскости, расстояние от $P$ до плоскости $BCD$ равно половине расстояния от $A$ до неё. По теореме об отношении площадей треугольников с общим углом: $\dfrac{S_{QCN}}{S_{DCB}}=\dfrac{CQ}{CD}\cdot\dfrac{CN}{CB}=\dfrac12\cdot\dfrac13=\dfrac16$. Тогда $V_{PQCN}=\dfrac13\cdot\dfrac{S_{DCB}}{6}\cdot\dfrac{h_A}{2}=\dfrac{V}{12}$, где $V=\dfrac13 S_{DCB}h_A$.

Аналогично для основания $ACNM$: расстояние от $P$ до плоскости $ABC$ равно половине расстояния от $D$ до неё (так как $A$ лежит в плоскости $ABC$). Площадь $MBN$: $\dfrac{S_{MBN}}{S_{ABC}}=\dfrac{BM}{BA}\cdot\dfrac{BN}{BC}=\dfrac23\cdot\dfrac23=\dfrac49$, значит $\dfrac{S_{ACNM}}{S_{ABC}}=1-\dfrac49=\dfrac59$. Тогда $V_{PACNM}=\dfrac13\cdot\dfrac59 S_{ABC}\cdot\dfrac{h_D}{2}=\dfrac{5V}{18}$, где $V=\dfrac13 S_{ABC}h_D$.

Суммируя: $V_{APMNCQ}=\dfrac{V}{12}+\dfrac{5V}{18}=\dfrac{3V+10V}{36}=\dfrac{13V}{36}$.

Остальная часть пирамиды $BMNDPQ$ имеет объём $V-\dfrac{13V}{36}=\dfrac{23V}{36}$.

Итак, $\dfrac{V_{APMNCQ}}{V_{BMNDPQ}}=\dfrac{13}{23}$.