Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

1. Найдём длины отрезков на боковых рёбрах: $AM=2\Rightarrow A_1M=6-2=4$, $CN=1\Rightarrow C_1N=6-1=5$.

2. Площадь основания призмы — правильного треугольника со стороной 6: $S_{осн}=\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot6^2=9\sqrt3$. Тогда объём всей призмы $V=9\sqrt3\cdot6=54\sqrt3$.

3. а) Рассмотрим часть призмы — пирамиду с вершиной $B_1$ и основанием $A_1C_1NM$, лежащим в боковой грани $AA_1C_1C$. Так как $AA_1\perp A_1C_1$, отрезки $A_1M=4$ и $C_1N=5$ перпендикулярны $A_1C_1$, значит $A_1C_1NM$ — трапеция с высотой $A_1C_1=6$: $S=\dfrac{4+5}{2}\cdot6=27$.

Грань $AA_1C_1C$ вертикальна (перпендикулярна основанию), поэтому расстояние от $B_1$ до этой плоскости равно расстоянию от $B$ до прямой $AC$ в основании, то есть равно высоте равностороннего треугольника: $h=\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot6=3\sqrt3$.

Объём пирамиды $B_1A_1C_1NM=\dfrac13\cdot27\cdot3\sqrt3=27\sqrt3$ — ровно половина объёма призмы. Значит, оставшаяся часть призмы (многогранник $ABCMB_1N$) имеет такой же объём $27\sqrt3$, то есть сечение $MNB_1$ делит призму на два равновеликих многогранника, что и требовалось доказать.

4. б) Аналогично рассмотрим пирамиду с вершиной $B$ и основанием — трапецией $ACNM$ (в той же грани $AA_1C_1C$), где $AM=2$, $CN=1$, высота трапеции $AC=6$: $S=\dfrac{2+1}{2}\cdot6=9$. Высота этой пирамиды та же, что и раньше — $3\sqrt3$ (расстояние от $B$ до плоскости $AA_1C_1C$).

Объём пирамиды $BACNM=\dfrac13\cdot9\cdot3\sqrt3=9\sqrt3$.

5. Многогранник $ABCMB_1N$ (объём $27\sqrt3$, из пункта а) составлен из двух частей: пирамиды $BACNM$ и тетраэдра $MNBB_1$. Поэтому $$V_{MNBB_1}=27\sqrt3-9\sqrt3=18\sqrt3.$$