Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пусть $BM=4x$, тогда из отношений $BM:MB_1=2:5$ и $BM:NC_1=2:3$ получаем $B_1M=10x$, $C_1N=6x$, $NC=8x$. Продолжим $MN$ до пересечения с продолжением $BC$ в точке $P$. В треугольнике $PNC$ отрезок $BM\parallel NC$ (боковые ребра призмы параллельны), поэтому $BM$ — средняя линия этого треугольника, откуда $PB=BC$. Тогда в четырёхугольнике $PBDA$ стороны $PB\parallel AD$ и $PB=BC=AD$, значит $PBDA$ — параллелограмм и $BD\parallel PA$. Поскольку $PA$ лежит в плоскости $AMN$ (точки $P,M,N$ коллинеарны), по признаку параллельности прямой и плоскости $BD\parallel(AMN)$.

б) Из $BM+MB_1=CC_1=AA_1=14$ находим $x=1$, значит $BM=4$, $NC=8$. Проведём через $N$ прямую, параллельную $CD$; она пересекает $DD_1$ в точке $K$ на той же высоте, то есть $DK=NC=8$. Точки $A,B,N,K$ оказываются в одной плоскости (это плоскость $ABN$), причём $ABNK$ — параллелограмм. Значит плоскость $ABN$ отсекает от призмы многогранник $AKDBNC$ — прямую призму с основанием, прямоугольным треугольником $ADK$ (катеты $AD=3$, $DK=8$) и высотой $AB=3$: $$V_1=\frac12\cdot AD\cdot DK\cdot AB=\frac12\cdot3\cdot8\cdot3=36.$$ Полный объём призмы $V=AD^2\cdot AA_1=3^2\cdot14=126$, тогда вторая часть $V_2=126-36=90$. Так как $36<90$, меньший объём равен $36$.