Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) По условию AKLM – равнобедренная трапеция, значит, её боковые стороны AK и ML равны, а основания AM и KL параллельны. Прямая AM лежит в плоскости, содержащей ребро AA₁ (боковая грань AA₁B₁B), а прямая KL — в плоскости, содержащей ребро CC₁ (грань CC₁D₁D). Так как AA₁∥CC₁ (боковые ребра призмы параллельны), а AM∥KL по свойству трапеции, углы, которые эти прямые образуют с параллельными им ребрами, равны как соответственные при параллельных прямых. Отсюда прямоугольные треугольники AA₁M и LCK (прямой угол там, где боковое ребро встречает основание) подобны по острому углу: $\dfrac{LC}{AA_1}=\dfrac{KC}{A_1M}$. Так как $DK=2KC$, то $KC=\dfrac13 CD$; так как $A_1M=MB_1$, то $A_1M=\dfrac12 A_1B_1$. Подставив, получаем $LC=\dfrac{2}{3}AA_1=\dfrac23 CC_1$, а значит $CL=2LC_1$.

б) Пусть $AD=6x$. Тогда $DK=4x$, $A_1M=3x$, $LC_1=\dfrac13 CC_1=\dfrac{AA_1}{3}=\dfrac73$ (при $AA_1=7$). По теореме Пифагора: $$AK=\sqrt{AD^2+DK^2}=\sqrt{36x^2+16x^2}=2\sqrt{13}\,x,$$ $$MC_1=\sqrt{MB_1^2+B_1C_1^2}=\sqrt{9x^2+36x^2}=3\sqrt5\,x,$$ $$ML=\sqrt{MC_1^2+LC_1^2}=\sqrt{45x^2+\dfrac{49}{9}}.$$ Поскольку AK и ML — равные боковые стороны трапеции, $AK=ML$: $$2\sqrt{13}\,x=\sqrt{45x^2+\dfrac{49}{9}}\;\Rightarrow\;52x^2=45x^2+\dfrac{49}{9}\;\Rightarrow\;7x^2=\dfrac{49}{9}\;\Rightarrow\;x^2=\dfrac79\;\Rightarrow\;x=\dfrac{\sqrt7}{3}.$$ Тогда сторона квадрата основания $AD=6x=2\sqrt7$, и объём призмы: $$V=AB\cdot AD\cdot AA_1=(2\sqrt7)(2\sqrt7)(7)=4\cdot7\cdot7=196.$$