Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Пусть O — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD (его центр). Точки M и O — середины отрезков SC и AC, поэтому MO — средняя линия треугольника SAC, значит $MO\parallel SA$. Так как плоскость $\alpha$ параллельна SA и содержит отрезок MO, именно MO является пересечением $\alpha$ с плоскостью SAC.

Точки N и O лежат и в плоскости $\alpha$, и в плоскости основания, значит пересечение $\alpha$ с плоскостью ABC — прямая NO; продолжим её до пересечения с AD в точке K.

Центральная симметрия квадрата относительно O переводит B в D, C в A, а значит отрезок BC в AD и точку N в K. Поэтому $\dfrac{DK}{KA}=\dfrac{BN}{NC}$.

Прямые KL и SA — линии пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости ASD с плоскостью, содержащей SA; так как $\alpha\parallel SA$, по свойству параллельности плоскости и прямой $KL\parallel SA$. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике ASD: $$\frac{DL}{LS}=\frac{DK}{KA}=\frac{BN}{NC},$$ что и требовалось.

б) При $BN:NC=1:2$ получаем $DK:KA=1:2$, значит $DL:LS=1:2$, то есть $DL=\tfrac13 DS$.

Продолжим NK до пересечения с прямой CD в точке P. Треугольники PKD и PNC прямоугольные (углы при D и C — прямые, так как $AD\perp DC$, $BC\perp DC$) и подобны, причём $KD:NC=\tfrac13 a:\tfrac23 a=1:2$, откуда $PD:PC=1:2$ и, значит, $PD=DC=a$.

Площади: $S_{PNC}=\tfrac23 S_{ABCD}$, $S_{PKD}=\tfrac16 S_{ABCD}$ (считаются как площади треугольников с основаниями PC, PD на прямой CD).

М — середина SC, значит высота пирамиды M-PNC равна половине высоты S над основанием, а высота пирамиды L-PKD равна $\tfrac13$ высоты (так как $DL=\tfrac13 DS$). Тогда $$V_{MPNC}=\frac13\cdot\frac23 S_{ABCD}\cdot\frac{h}{2}=\frac13 V_{SABCD},\qquad V_{LPKD}=\frac13\cdot\frac16 S_{ABCD}\cdot\frac{h}{3}=\frac1{18}V_{SABCD}.$$

Часть пирамиды, содержащая C и D (шестигранник MLDKNC), равна разности этих двух тетраэдров, так как L,P,K,D лежат «внутри» большого тетраэдра, а сам многогранник получается вырезанием LPKD из MPNC: $$V_{MLDKNC}=V_{MPNC}-V_{LPKD}=\frac13 V_{SABCD}-\frac1{18}V_{SABCD}=\frac{5}{18}V_{SABCD}.$$

Остальная часть пирамиды имеет объём $V_{SABCD}-\tfrac{5}{18}V_{SABCD}=\tfrac{13}{18}V_{SABCD}$.

Отношение объёмов частей: $\dfrac{5}{18}:\dfrac{13}{18}=5:13$.