Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

Так как призма правильная, боковые рёбра $AA_1$, $CC_1$ параллельны, а основание — равносторонний треугольник со стороной 1.

Прямая $CC_1\parallel AA_1$, а $AA_1$ лежит в плоскости $ABB_1A_1$, значит $CC_1\parallel(ABB_1A_1)$. Прямая $A_1D$ лежит в этой же плоскости, поэтому расстояние между $A_1D$ и $CC_1$ равно расстоянию от прямой $CC_1$ до плоскости $(ABB_1A_1)$, то есть равно высоте $CM$ треугольника $ABC$, проведённой из $C$ (так как $CM\perp AA_1$ и $CM\perp$ основанию).

Аналогично, $AA_1\parallel CC_1\subset(BCC_1B_1)$, значит расстояние от точки $A$ до плоскости $(BCC_1)$ равно высоте треугольника $ABC$, опущенной из $A$ на $BC$.

Треугольник $ABC$ равносторонний, поэтому все его высоты равны: $CM=$ высота из $A$. Отсюда доказано равенство расстояний.

Для объёма: $CM\perp(ABB_1A_1)$, следовательно $CM$ — высота пирамиды с вершиной $C$ и основанием $ABDA_1$ (это прямоугольная трапеция, так как $AA_1\parallel BD$, оба перпендикулярны $AB$).

$CM=\dfrac{\sqrt3}{2}$ (высота равностороннего треугольника со стороной 1).

$AA_1=8\sqrt3$, а $BD=\dfrac12BB_1=4\sqrt3$ (D — середина $BB_1$).

Площадь трапеции: $S_{ABDA_1}=\dfrac{AA_1+BD}{2}\cdot AB=\dfrac{8\sqrt3+4\sqrt3}{2}\cdot1=6\sqrt3$.

Объём пирамиды: $V=\dfrac13 S_{ABDA_1}\cdot CM=\dfrac13\cdot6\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=3$.