ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Объёмы многогранников

Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 14Теорема косинусовОбъем тела

В пирамиде SABC в основании лежит правильный треугольник ABC со стороной 2 корень из 3 , SA=SC= корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента , SB=7. Точка O  — основание высоты пирамиды, проведённой из вершины S.

а)  Докажите, что точка O лежит вне треугольника ABC.

б)  Найдите объём четырёхугольной пирамиды SABCO.

В подтеме 60 задач
Разбор
Главная идея: Проекция вершины S лежит на медиане BM (из равенства боковых рёбер SA=SC), а её положение относительно точки M определяется знаком косинуса угла BMS через теорему косинусов; далее высота и стороны находятся из системы уравнений по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках с общей высотой SO.

  1. Так как SA=SC, вершина S проецируется на прямую, проходящую через середину M отрезка AC перпендикулярно ему, то есть точка O лежит на медиане (и высоте) BM основания.

  2. Найдём BM и SM в треугольнике ABC и SMC: BM=32⋅23=3BM=\frac{\sqrt3}{2}\cdot2\sqrt3=3, AM=3AM=\sqrt3, SM=SA2−AM2=33−3=30SM=\sqrt{SA^2-AM^2}=\sqrt{33-3}=\sqrt{30}.

  3. По теореме косинусов в △BMS\triangle BMS: cos⁡∠BMS=BM2+SM2−SB22⋅BM⋅SM=9+30−49630=−3018<0\cos\angle BMS=\dfrac{BM^2+SM^2-SB^2}{2\cdot BM\cdot SM}=\dfrac{9+30-49}{6\sqrt{30}}=-\dfrac{\sqrt{30}}{18}<0. Угол при M тупой — значит проекция S (точка O) лежит на продолжении BM за точку M, то есть вне треугольника ABC.

  4. Введём SO=xSO=x. Так как SO⊥SO\perp основания, из прямоугольных треугольников SMOSMO и SBOSBO: MO=30−x2MO=\sqrt{30-x^2}, BO=49−x2BO=\sqrt{49-x^2}. Поскольку O лежит за M, BO=BM+MO=3+30−x2BO=BM+MO=3+\sqrt{30-x^2}.

  5. Возведя в квадрат и решив уравнение (3+30−x2)2=49−x2(3+\sqrt{30-x^2})^2=49-x^2, получаем x2=2459x^2=\dfrac{245}{9}, то есть SO=753SO=\dfrac{7\sqrt5}{3}, отсюда MO=53MO=\dfrac53, BO=143BO=\dfrac{14}{3}.

  6. Четырёхугольник ABCO состоит из треугольников ABC и ACO, лежащих по разные стороны AC, поэтому его площадь равна 12⋅AC⋅BO=12⋅23⋅143=1433\frac12\cdot AC\cdot BO=\frac12\cdot2\sqrt3\cdot\frac{14}{3}=\frac{14\sqrt3}{3}.

  7. Объём: V=13⋅SO⋅SABCO=13⋅753⋅1433=981527V=\frac13\cdot SO\cdot S_{ABCO}=\frac13\cdot\frac{7\sqrt5}{3}\cdot\frac{14\sqrt3}{3}=\frac{98\sqrt{15}}{27}.

Типичные ошибки

  • Не учли, что O может лежать вне треугольника, и искали высоту как в обычной пирамиде с проекцией внутри основания
  • Ошибка в определении площади четырёхугольника ABCO — забыли, что B и O лежат по разные стороны от AC, и вычли площади вместо сложения
  • Неверно определили, что BO = BM + MO (перепутали направление продолжения медианы)
Непонятно?

Похожие задачи