Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

а) Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости $ABC$, а точка $O$ лежит на отрезке $CH$ — высоте треугольника $ABC$, значит $CH\perp AB$. По теореме о трёх перпендикулярах прямая $SH$ (проекция которой на плоскость $ABC$ есть прямая $OH\subset CH$) также перпендикулярна $AB$.

В прямоугольных треугольниках $ASH$ и $BSH$ по теореме Пифагора: $$AS^2=SH^2+AH^2,\qquad BS^2=SH^2+BH^2\Rightarrow AS^2-BS^2=AH^2-BH^2.$$

Аналогично в треугольниках $ACH$ и $BCH$: $$AC^2=AH^2+CH^2,\qquad BC^2=BH^2+CH^2\Rightarrow AC^2-BC^2=AH^2-BH^2.$$

Сравнивая правые части, получаем $AS^2-BS^2=AC^2-BC^2$, что и требовалось доказать.

б) Обозначим $AH=x$, тогда $BH=25-x$. Из доказанного тождества (через $CH$) следует $$AC^2-AH^2=BC^2-BH^2\;\Rightarrow\;100-x^2=325-(25-x)^2.$$ Раскрывая скобки: $100-x^2=325-625+50x-x^2\Rightarrow 100=-300+50x\Rightarrow x=8$.

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $ACH$: $$CH^2=AC^2-AH^2=100-64=36\Rightarrow CH=6,\quad CO=\dfrac{CH}{2}=3.$$

Поскольку $SO\perp ABC$, треугольник $SOC$ прямоугольный с гипотенузой $SC$: $$SO^2=SC^2-OC^2=9\cdot10-9=81\Rightarrow SO=9.$$

Площадь основания: $S_{ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot CH=\dfrac12\cdot25\cdot6=75$.

Объём пирамиды: $V=\dfrac13\cdot SO\cdot S_{ABC}=\dfrac13\cdot9\cdot75=225.$