Задание 14 ЕГЭ, математика (профиль): Объёмы многогранников

1. Так как $SA=SB$, треугольник $ASB$ равнобедренный, а $SM$ — его медиана к основанию $AB$. В равнobedренном треугольнике медиана к основанию совпадает с высотой, поэтому $AB\perp SM$.
2. $SH$ — высота пирамиды, то есть перпендикулярна всей плоскости $ABC$, значит $SH\perp AB$.
3. Прямая $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SM$ и $SH$ плоскости $SMC$, поэтому $AB\perp(SMC)$, а значит $AB\perp CM$.
4. Таким образом $CM$ — одновременно медиана и высота треугольника $ABC$, что означает $AC=BC$, то есть треугольник равнобедренный.

б) Так как $SH\perp(ABC)$, треугольники $SHM$, $SHC$, $SHA$ прямоугольные с прямым углом при $H$. $$MH=CH=\sqrt{SC^2-SH^2}=\sqrt{9\cdot17-144}=\sqrt{9}=3.$$ Так как $H$ — середина $CM$, то $CM=2\cdot MH=6$. $$AH=\sqrt{SA^2-SH^2}=\sqrt{169-144}=5.$$ В прямоугольном треугольнике $AHM$ (угол при $M$ прямой, так как $AB\perp CM$): $$AM=\sqrt{AH^2-MH^2}=\sqrt{25-9}=4=BM.$$ Значит $AB=2\cdot AM=8$. Площадь основания: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CM=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 6=24.$$ Объём пирамиды: $$V=\frac{1}{3}\cdot SH\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}\cdot12\cdot24=96.$$